1. Suceso Contrario o Complementario
El suceso contrario (o complementario) de \( A \), denotado \( \bar{A} \) (o \( A^c \)), es aquel que ocurre cuando no ocurre \( A \):
Propiedades fundamentales: \( A \cup \bar{A} = E \), \( A \cap \bar{A} = \emptyset \), \( \bar{E} = \emptyset \), \( \bar{\emptyset} = E \), y la involución \( \overline{\bar{A}} = A \).
En el lanzamiento de un dado \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), sean \( A = \{1, 2\} \) y \( B = \{2, 3\} \):
Por otra parte, \( \overline{A} = \{3, 4, 5, 6\} \) y \( \overline{B} = \{1, 4, 5, 6\} \):
2. Leyes de De Morgan
Establecen la dualidad fundamental entre la unión y la intersección bajo la complementación:
1ª Ley de De Morgan: Complementario de la Unión
El contrario de la unión es la intersección de los contrarios (no ocurre ni \( A \) ni \( B \)):
\[ \overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \]
2ª Ley de De Morgan: Complementario de la Intersección
El contrario de la intersección es la unión de los contrarios (al menos uno de ellos no ocurre):
\[ \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \]
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Complementario directo en un dado
Sea \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) y \( A = \{2, 3, 5\} \) (números primos).
\[ \bar{A} = E \setminus A = \{1, 4, 6\} \]
Ejemplo 2: Verificación de la 1ª Ley de De Morgan
Con \( A = \{1, 2\} \) y \( B = \{2, 3\} \) en \( E = \{1, 2, 3, 4, 5\} \):
\( A \cup B = \{1, 2, 3\} \implies \overline{A \cup B} = \{4, 5\} \).
\( \bar{A} = \{3, 4, 5\} \) y \( \bar{B} = \{1, 4, 5\} \implies \bar{A} \cap \bar{B} = \{4, 5\} \). Coinciden exactamente.
Ejemplo 3: Verificación de la 2ª Ley de De Morgan
Con los mismos conjuntos: \( A \cap B = \{2\} \implies \overline{A \cap B} = \{1, 3, 4, 5\} \).
\[ \bar{A} \cup \bar{B} = \{3, 4, 5\} \cup \{1, 4, 5\} = \{1, 3, 4, 5\} \]