Ejercicio 1: Aplicación de De Morgan en lenguaje probabilístico
Sean \( A = \text{"aprobar Matemáticas"} \) y \( B = \text{"aprobar Física"} \). Expresar formalmente con operaciones de conjuntos los siguientes sucesos:
- No aprobar ninguna de las dos asignaturas.
- Aprobar al menos una de las dos.
- No aprobar las dos simultáneamente.
Solución:
- No aprobar ninguna: ni \( A \) ni \( B \) \( \implies \bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B} \).
- Aprobar al menos una: \( A \cup B \).
- No aprobar ambas a la vez: \( \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \).
Ejercicio 2: Simplificación con complementarios
Demostrar que \( (A \cup B) \cap (\bar{A} \cup B) = B \).
Paso 1: Por propiedad distributiva sacamos \( \cup B \):
\[ (A \cup B) \cap (\bar{A} \cup B) = (A \cap \bar{A}) \cup B \]
Paso 2: Como \( A \cap \bar{A} = \emptyset \):
\[ \emptyset \cup B = B \]