Ejercicio 1: Descomposición de la unión en disjuntos
Demostrar que para cualquier par de sucesos \( A \) y \( B \), la unión se puede expresar como suma de tres sucesos disjuntos dos a dos: \[ A \cup B = (A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A) \]
Demostración:
1. Todo elemento \( x \in A \cup B \) pertenece a \( A \) o a \( B \).
2. Hay tres posibilidades mutuamente excluyentes:
- \( x \in A \) y \( x \notin B \implies x \in A \setminus B \)
- \( x \in A \) y \( x \in B \implies x \in A \cap B \)
- \( x \notin A \) y \( x \in B \implies x \in B \setminus A \)
3. La intersección de cualquiera de estos tres conjuntos dos a dos es \( \emptyset \). Queda demostrado.
Ejercicio 2: Operaciones con números naturales
En \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \), sean \( A = \{2, 3, 5, 7\} \) y \( B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \). Hallar \( A \Delta B \).
Paso 1: Elementos exclusivos de \( A \): \( A \setminus B = \{2\} \).
Paso 2: Elementos exclusivos de \( B \): \( B \setminus A = \{1, 9\} \).
Paso 3: Diferencia simétrica:
\[ A \Delta B = \{2\} \cup \{1, 9\} = \{1, 2, 9\} \]