Ejercicio 1: Prueba de independencia a partir de probabilidades
Se sabe que \( P(A) = 0.6 \), \( P(B) = 0.4 \) y \( P(A \cup B) = 0.76 \). Determinar si \( A \) y \( B \) son independientes.
Paso 1: Hallamos \( P(A \cap B) \) a partir de la probabilidad de la unión:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \]
\[ P(A \cap B) = 0.6 + 0.4 - 0.76 = 1.0 - 0.76 = 0.24 \]
Paso 2: Calculamos el producto de probabilidades marginales:
\[ P(A) \cdot P(B) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 \]
Conclusión: Al cumplirse \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.24 \), los sucesos \( A \) y \( B \) son independientes.
Ejercicio 2: Tiro al blanco múltiple independiente
Tres tiradores disparan independientemente a una diana. Las probabilidades de acierto son \( 0.7 \), \( 0.6 \) y \( 0.5 \). Hallar la probabilidad de que la diana sea alcanzada por al menos un disparo.
Paso 1: Suceso complementario: \( \bar{A} = \text{"ninguno acierta"} \).
Por independencia:
\[ P(\text{fallo}_1) = 1 - 0.7 = 0.3, \quad P(\text{fallo}_2) = 1 - 0.6 = 0.4, \quad P(\text{fallo}_3) = 1 - 0.5 = 0.5 \]
\[ P(\text{ninguno acierta}) = 0.3 \times 0.4 \times 0.5 = 0.06 \]
Paso 2: Probabilidad de al menos un acierto:
\[ P(\text{al menos uno}) = 1 - 0.06 = 0.94 \]