1. Definición Formal de Independencia Estocástica
Dos sucesos \( A \) y \( B \) son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no altera ni condiciona en absoluto la probabilidad de que ocurra el otro:
Equivalentemente (en términos de probabilidad condicionada):
En el lanzamiento de un dado equilibrado, sean \( A = \{2, 4, 6\} \) (par, \(P(A) = 1/2\)) y \( B = \{1, 2\} \) (\(P(B) = 2/6 = 1/3\)):
2. Sucesos Dependientes
Dos sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de \( B \) modifica la probabilidad de \( A \):
Extracciones con o sin reemplazamiento:
- Con reemplazamiento: La composición de la urna no cambia \( \implies \) Las extracciones son independientes.
- Sin reemplazamiento: Cambia el número de casos favorables y posibles \( \implies \) Las extracciones son dependientes.
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Comprobación de independencia
Si \( P(A) = 0.4 \), \( P(B) = 0.5 \) y \( P(A \cap B) = 0.2 \). ¿Son independientes?
\[ P(A) \cdot P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.20 \]
Como \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \), los sucesos son independientes.
Ejemplo 2: Dos lanzamientos de un dado
Sea \( A = \text{"sacar 6 en el 1er lanzamiento"} \) y \( B = \text{"sacar 6 en el 2do"} \).
\[ P(A) = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{1}{6} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]
El resultado del primer dado no influye en el segundo (independientes).
Ejemplo 3: Extracción sin reemplazamiento (dependencia)
Urna con 3 bolas rojas y 2 negras. Extraer dos bolas sin devolver la primera.
\( P(R_1) = \frac{3}{5} \). Para la segunda bola: \( P(R_2|R_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \ne \frac{3}{5} \).
Son sucesos dependientes.