1. Definición de Probabilidad Condicionada
La probabilidad de que ocurra el suceso \( A \) sabiendo que previamente ha ocurrido el suceso \( B \) (con \( P(B) > 0 \)) es:
De una urna con 3 bolas rojas y 2 negras, extraemos dos bolas consecutivas sin reposición:
2. Regla de la Multiplicación para la Intersección
Despejando \( P(A \cap B) \) de la fórmula anterior:
- Caso general (sucesos dependientes): \[ P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A) \]
- Caso particular (sucesos independientes): \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
- Para tres sucesos: \[ P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B) \]
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Extracción de dos cartas sin reemplazamiento
Probabilidad de extraer dos ases consecutivos de una baraja de 40 cartas.
\[ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) = \frac{4}{40} \cdot \frac{3}{39} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{130} \approx 0.00769 \]
Ejemplo 2: Diagrama de árbol con urna
Urna con 6 bolas blancas y 4 negras. Extraer dos bolas sin reemplazamiento.
Probabilidad de obtener dos blancas: \( P(B_1 \cap B_2) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \).
Probabilidad de blanca y luego negra: \( P(B_1 \cap N_2) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15} \).
Ejemplo 3: Intersección con independencia
Probabilidad de obtener cara en una moneda y un 5 en un dado.
\[ P(C \cap 5) = P(C) \cdot P(5) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \]