1. Definición y Distinción Clave
- Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes): No pueden ocurrir simultáneamente. Su intersección es vacía: \[ A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0 \]
- Sucesos compatibles: Pueden ocurrir a la vez en una misma realización del experimento: \[ A \cap B \ne \emptyset \implies P(A \cap B) > 0 \]
¡Alerta conceptual de Selectividad!
Incompatibilidad \( \ne \) Independencia:
Si dos sucesos no imposibles (\( P(A)>0, P(B)>0 \)) son incompatibles (\( P(A \cap B) = 0 \)), entonces nunca son independientes, ya que \( P(A) \cdot P(B) > 0 \ne P(A \cap B) \).
En el lanzamiento de un dado de 6 caras:
1) Sucesos incompatibles: \( A = \{1, 2\} \) y \( B = \{5, 6\} \). No pueden ocurrir simultáneamente (\( A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0 \)).
2) Sucesos compatibles: \( A = \{2, 4, 6\} \) (par) y \( C = \{1, 2, 3\} \) (menor que 4). Comparten el elemento \(2\) (\( A \cap C = \{2\} eq \emptyset \)).
2. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Sucesos incompatibles en un dado
\( A = \text{"sacar número menor que 3"} = \{1, 2\} \), \( B = \text{"sacar número mayor que 4"} = \{5, 6\} \).
\( A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0 \). Son incompatibles.
Ejemplo 2: Sucesos compatibles en una baraja
\( A = \text{"sacar una copa"} \), \( B = \text{"sacar un as"} \).
\( A \cap B = \{\text{As de Copas}\} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{40} > 0 \). Son compatibles.
Ejemplo 3: Relación entre incompatibilidad e independencia
Si \( P(A) = 0.3 \) y \( P(B) = 0.4 \) son incompatibles:
\( P(A \cap B) = 0 \). ¿Son independientes? \( P(A)P(B) = 0.12 \ne 0 \implies \) No son independientes (son dependientes).