1. Teorema de la Adición para Dos Sucesos
Para dos sucesos cualesquiera \( A \) y \( B \) (compatibles o incompatibles), la probabilidad de su unión es:
Justificación: Al sumar \( P(A) + P(B) \), la región común \( A \cap B \) se contabiliza dos veces. Por tanto, se debe restar una vez.
Si son incompatibles (\( A \cap B = \emptyset \)), se recupera el Axioma 3: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \).
Si \( P(A) = 0.6 \), \( P(B) = 0.5 \) y \( P(A \cap B) = 0.3 \), calculemos la probabilidad de que ocurra al menos uno:
2. Principio de Inclusión-Exclusión para Tres Sucesos
Para tres sucesos \( A, B, C \):
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Probabilidad de la unión directa
Sean \( P(A) = 0.6 \), \( P(B) = 0.5 \) y \( P(A \cap B) = 0.3 \).
\[ P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8 \]
Ejemplo 2: Despejar la intersección
Si \( P(A) = 0.7 \), \( P(B) = 0.4 \) y \( P(A \cup B) = 0.85 \):
\[ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.7 + 0.4 - 0.85 = 0.25 \]
Ejemplo 3: Extracción en baraja de 40 cartas
Probabilidad de extraer un Rey o una Copa.
\( P(\text{Rey}) = \frac{4}{40} \), \( P(\text{Copas}) = \frac{10}{40} \), \( P(\text{Rey} \cap \text{Copas}) = \frac{1}{40} \).
\[ P(\text{Rey} \cup \text{Copas}) = \frac{4}{40} + \frac{10}{40} - \frac{1}{40} = \frac{13}{40} = 0.325 \]