Probabilidad del complementario

1. Fórmula Fundamental del Complementario

Dado que \( A \) y \( \bar{A} \) son incompatibles y su unión es el espacio seguro (\( A \cup \bar{A} = E \)):

P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A}) = P(E) = 1 \implies P(\bar{A}) = 1 - P(A)

📌 Ejemplo Concreto del Suceso Contrario:

Lanzamos un dado equilibrado 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un seis?

P(\text{Ningún 6}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.4823

P(\text{Al menos un 6}) = 1 - P(\text{Ningún 6}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0.5177 \quad (51.77\%)

2. La Estrategia de "Al Menos Uno"

El cálculo de la probabilidad de que ocurra al menos un suceso entre varios suele ser sumamente complejo si se calcula directamente. La regla del complementario proporciona un atajo extraordinario:

P(\text{"al menos un éxito"}) = 1 - P(\text{"ningún éxito"})

3. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Probabilidad de no sacar un 6

Al lanzar un dado, probabilidad de no obtener un 6:

\[ P(\bar{A}) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.833 \]

Ejemplo 2: Problema clásico de los dados de Chevalier de Méré

Probabilidad de obtener al menos un 6 al lanzar 4 dados equilibrados.

Suceso contrario: "no obtener ningún 6 en los 4 lanzamientos".

\[ P(\text{ningún 6}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.482 \]

\[ P(\text{al menos un 6}) = 1 - 0.482 = 0.518 \quad (51.8\%) \]

Ejemplo 3: Combinación con leyes de De Morgan

Calcular \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) \) sabiendo que \( P(A \cup B) = 0.85 \).

Por la 1ª ley de De Morgan: \( \bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B} \):

\[ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.85 = 0.15 \]