Ejercicio 1: Fiabilidad de componentes en paralelo
Un sistema de seguridad cuenta con 3 sensores independientes que funcionan con probabilidades \( 0.90 \), \( 0.85 \) y \( 0.80 \). El sistema se activa si al menos uno detecta la alarma. Hallar la probabilidad de que el sistema se active.
Paso 1: Calculamos las probabilidades de fallo de cada sensor:
\[ P(\bar{S}_1) = 0.10, \quad P(\bar{S}_2) = 0.15, \quad P(\bar{S}_3) = 0.20 \]
Paso 2: Probabilidad de que todos fallen simultáneamente (por independencia):
\[ P(\bar{S}_1 \cap \bar{S}_2 \cap \bar{S}_3) = 0.10 \times 0.15 \times 0.20 = 0.003 \]
Paso 3: Probabilidad de que al menos uno se active:
\[ P(\text{Activación}) = 1 - 0.003 = 0.997 \quad (99.7\%) \]
Ejercicio 2: Aplicación con De Morgan y datos cruzados
Si \( P(\bar{A}) = 0.4 \), \( P(\bar{B}) = 0.7 \) y \( P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.8 \), calcular \( P(A \cap B) \) y \( P(A \cup B) \).
Paso 1: Por De Morgan: \( \bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B} \implies P(A \cap B) = 1 - 0.8 = 0.2 \).
Paso 2: Hallamos \( P(A) = 1 - 0.4 = 0.6 \) y \( P(B) = 1 - 0.7 = 0.3 \).
Paso 3: Unión:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 - 0.2 = 0.7 \]