Probabilidad de la diferencia de conjuntos

1. Fórmula de la Probabilidad de la Diferencia

La probabilidad de que ocurra el suceso \( A \) y no ocurra \( B \) (denotada \( P(A \setminus B) \) o \( P(A \cap \bar{B}) \)) es:

P(A \setminus B) = P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)

Análogamente: \( P(B \setminus A) = P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B) \).

📌 Ejemplo Concreto de Probabilidad de la Diferencia:

Sabiendo que \( P(A) = 0.7 \) y \( P(A \cap B) = 0.2 \), calculemos la probabilidad de que ocurra \( A \) pero no ocurra \( B \):

P(A \setminus B) = P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.7 - 0.2 = 0.5

La probabilidad de que se verifique únicamente uno de los dos sucesos (diferencia simétrica) se obtiene sumando las dos diferencias disjuntas:

P(A \Delta B) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)

Sean \( P(A) = 0.7 \) y \( P(A \cap B) = 0.3 \).

\[ P(A \setminus B) = P(A \cap \bar{B}) = 0.7 - 0.3 = 0.4 \]

Si \( P(A) = 0.6 \), \( P(B) = 0.5 \) y \( P(A \cap B) = 0.25 \):

\[ P(\text{solo } A) = 0.6 - 0.25 = 0.35, \qquad P(\text{solo } B) = 0.5 - 0.25 = 0.25 \]

\[ P(A \Delta B) = 0.35 + 0.25 = 0.60 \]

Si \( A \) y \( B \) son independientes con \( P(A) = 0.5 \) y \( P(B) = 0.2 \):

\[ P(A \cap B) = 0.5 \times 0.2 = 0.1 \]

\[ P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.1 = 0.4 = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0.5 \times 0.8 = 0.4 \]