1. Partición del Espacio Muestral
Se dice que una colección de sucesos \( \{A_1, A_2, \dots, A_n\} \) constituye una partición del espacio muestral \( E \) si:
- Son incompatibles dos a dos: \( A_i \cap A_j = \emptyset \quad (\forall i \ne j) \).
- Su unión recubre todo el espacio: \( A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = E \).
- Todos tienen probabilidad no nula: \( P(A_i) > 0 \).
2. Enunciado del Teorema de la Probabilidad Total
Si \( \{A_1, A_2, \dots, A_n\} \) es una partición de \( E \), para cualquier suceso \( B \subset E \), su probabilidad se calcula sumando las probabilidades de las diferentes vías que lo producen:
Una fábrica tiene dos máquinas \( M_1 \) y \( M_2 \) que producen el \( 60\% \) y \( 40\% \) de los artículos, con tasas de defecto del \( 2\% \) y \( 5\% \) respectivamente:
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Tres máquinas de fabricación
Una fábrica produce piezas con tres máquinas: \( M_1 \) (50%), \( M_2 \) (30%) y \( M_3 \) (20%). El porcentaje de defectuosas es del 2% en \( M_1 \), 3% en \( M_2 \) y 5% en \( M_3 \). Hallar la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa (\( D \)).
\[ P(D) = P(M_1)P(D|M_1) + P(M_2)P(D|M_2) + P(M_3)P(D|M_3) \]
\[ P(D) = 0.50(0.02) + 0.30(0.03) + 0.20(0.05) = 0.010 + 0.009 + 0.010 = 0.029 \quad (2.9\%) \]
Ejemplo 2: Dos urnas
Urna 1: 4 rojas, 6 negras. Urna 2: 7 rojas, 3 negras. Se lanza una moneda para elegir la urna y se extrae una bola. Probabilidad de que sea roja:
\[ P(R) = P(U_1)P(R|U_1) + P(U_2)P(R|U_2) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{7}{10}\right) = \frac{1}{2}(0.4 + 0.7) = \frac{1.1}{2} = 0.55 \]
Ejemplo 3: Dos turnos laborales
Turno de mañana (60% del personal, 5% ausencias) y turno de tarde (40%, 8% ausencias). Probabilidad de ausencia total:
\[ P(A) = 0.60(0.05) + 0.40(0.08) = 0.030 + 0.032 = 0.062 \quad (6.2\%) \]