Ejercicio 1: Diagnóstico médico y test de detección
En una población, el \( 2\% \) padece una enfermedad. Un test da positivo en el \( 95\% \) de los enfermos (sensibilidad), pero da un falso positivo en el \( 3\% \) de las personas sanas. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo en el test.
Partición: \( E = \text{Enfermo} \implies P(E) = 0.02 \); \( S = \text{Sano} \implies P(S) = 0.98 \).
Condicionadas: \( P(+|E) = 0.95 \); \( P(+|S) = 0.03 \).
Probabilidad total de positivo:
\[ P(+) = P(E)P(+|E) + P(S)P(+|S) \]
\[ P(+) = 0.02(0.95) + 0.98(0.03) = 0.0190 + 0.0294 = 0.0484 \quad (4.84\%) \]
Ejercicio 2: Urnas con transferencia de bolas
La urna A contiene 3 bolas blancas y 2 negras. La urna B contiene 4 blancas y 5 negras. Se pasa una bola al azar de A a B y luego se extrae una bola de B. Hallar la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca.
Partición según la bola transferida:
\( P(B_A) = \frac{3}{5} \); \( P(N_A) = \frac{2}{5} \).
Condicionadas en urna B (que pasa a tener 10 bolas):
Si se pasó blanca: hay 5 blancas de 10 \( \implies P(B_B|B_A) = \frac{5}{10} \).
Si se pasó negra: hay 4 blancas de 10 \( \implies P(B_B|N_A) = \frac{4}{10} \).
Probabilidad total:
\[ P(B_B) = \frac{3}{5}\left(\frac{5}{10}\right) + \frac{2}{5}\left(\frac{4}{10}\right) = \frac{15}{50} + \frac{8}{50} = \frac{23}{50} = 0.46 \]