Ejercicio 1: Filtro anti-spam de correo electrónico
El \( 40\% \) de los correos recibidos son spam (\( S \)). El \( 1\% \) de los correos válidos contiene la palabra "gratis", mientras que el \( 70\% \) de los correos spam contiene dicha palabra. Si un correo entrante contiene la palabra "gratis", ¿cuál es la probabilidad de que sea spam?
Paso 1: Datos a priori: \( P(S) = 0.40 \), \( P(V) = 0.60 \).
Condicionadas: \( P(G|S) = 0.70 \), \( P(G|V) = 0.01 \).
Paso 2: Probabilidad total de que contenga "gratis":
\[ P(G) = P(S)P(G|S) + P(V)P(G|V) = 0.40(0.70) + 0.60(0.01) = 0.28 + 0.006 = 0.286 \]
Paso 3: Teorema de Bayes:
\[ P(S|G) = \frac{P(S)P(G|S)}{P(G)} = \frac{0.28}{0.286} = \frac{280}{286} = \frac{140}{143} \approx 0.979 \quad (97.9\%) \]
Ejercicio 2: Accidente laboral y medidas de seguridad
En una constructora, los obreros que siguen el protocolo de seguridad tienen una probabilidad de sufrir un accidente del \( 0.5\% \), mientras que los que no lo siguen tienen una probabilidad del \( 8\% \). El \( 90\% \) sigue el protocolo. Si un trabajador ha sufrido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que no haya seguido el protocolo?
Paso 1: \( P(S) = 0.90 \implies P(A|S) = 0.005 \); \( P(\bar{S}) = 0.10 \implies P(A|\bar{S}) = 0.08 \).
Paso 2: Probabilidad total de accidente:
\[ P(A) = 0.90(0.005) + 0.10(0.08) = 0.0045 + 0.0080 = 0.0125 \]
Paso 3: Teorema de Bayes:
\[ P(\bar{S}|A) = \frac{0.10(0.08)}{0.0125} = \frac{0.0080}{0.0125} = \frac{80}{125} = \frac{16}{25} = 0.64 \quad (64\%) \]