Teorema de Bayes - Matemáticas II

1. Enunciado y Fundamento del Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes calcula la probabilidad a posteriori de que la causa de un suceso observado \( B \) haya sido una hipótesis concreta \( A_k \) perteneciente a una partición \( \{A_1, \dots, A_n\} \):

P(A_k|B) = \frac{P(A_k \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i)}

Probabilidad a priori \( P(A_k) \): Conocimiento inicial de la causa antes del experimento.
Verosimilitud \( P(B|A_k) \): Probabilidad del efecto dado que ocurre la causa.
Probabilidad a posteriori \( P(A_k|B) \): Probabilidad actualizada de la causa habiendo observado el efecto \( B \).

📌 Ejemplo Concreto del Teorema de Bayes:

Continuando con el ejemplo anterior (\(P(D) = 0.032\)), si elegimos un artículo al azar y resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina \( M_1 \)?

P(M_1 \mid D) = \frac{P(M_1)P(D \mid M_1)}{P(D)} = \frac{0.60 \cdot 0.02}{0.032} = \frac{0.012}{0.032} = 0.375 \quad (37.5\%)

2. Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Causa de defecto en fábrica

Con los datos del ejemplo anterior de máquinas: \( P(M_1)=0.50 \), \( P(D|M_1)=0.02 \); \( P(M_2)=0.30 \), \( P(D|M_2)=0.03 \); \( P(M_3)=0.20 \), \( P(D|M_3)=0.05 \). Si una pieza resulta ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina \( M_3 \)?

Sabemos \( P(D) = 0.029 \). Por el Teorema de Bayes:

\[ P(M_3|D) = \frac{P(M_3)P(D|M_3)}{P(D)} = \frac{0.20 \times 0.05}{0.029} = \frac{0.010}{0.029} = \frac{10}{29} \approx 0.345 \quad (34.5\%) \]

Ejemplo 2: Problema del test médico (Falso positivo)

Población: 2% enfermos (\( E \)), 98% sanos (\( S \)). Test: \( P(+|E) = 0.95 \), \( P(+|S) = 0.03 \). Probabilidad total \( P(+) = 0.0484 \). Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que esté enferma?

\[ P(E|+) = \frac{P(E)P(+|E)}{P(+)} = \frac{0.02 \times 0.95}{0.0484} = \frac{0.0190}{0.0484} \approx 0.3926 \quad (39.26\%) \]

(Incluso dando positivo, la mayoría de los positivos son falsos positivos debido a la baja prevalencia de la enfermedad).

Ejemplo 3: Identificación de urna a posteriori

Urna 1: 4 rojas, 6 negras. Urna 2: 7 rojas, 3 negras. Probabilidad a priori: 50% cada una. Si la bola extraída es roja (\( P(R) = 0.55 \)), probabilidad de que proceda de la Urna 1:

\[ P(U_1|R) = \frac{P(U_1)P(R|U_1)}{P(R)} = \frac{0.50 \times 0.40}{0.55} = \frac{0.20}{0.55} = \frac{4}{11} \approx 0.364 \]