4.3.1 Distribuciones de probabilidad discretas

En el cálculo de probabilidades, una variable aleatoria discreta $X$ es aquella que toma un número finito o infinito numerable de valores aislados $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$. A cada valor posible se le asocia una probabilidad concreta mediante la función de probabilidad o función de masa de probabilidad $P(X = x_i) = p_i$.

Condiciones de la función de probabilidad

Para que una función $p_i$ sea una distribución de probabilidad discreta válida, debe satisfacer dos axiomas fundamentales:

1. No negatividad: $p_i \ge 0$ para todo valor $x_i$.
2. Suma unitaria (certeza total): $\sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.

Parámetros característicos

Las distribuciones de probabilidad se caracterizan numéricamente mediante sus momentos estadísticos:

• Esperanza matemática o media ($\mu$ o $E[X]$): Representa el centro de gravedad o valor medio esperado a largo plazo: $$\mu = E[X] = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i$$
• Varianza ($\sigma^2$ o $\text{Var}(X)$): Mide la dispersión cuadrática de los valores respecto a la media: $$\sigma^2 = \text{Var}(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot p_i = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i ight) - \mu^2 = E[X^2] - (E[X])^2$$
• Desviación típica ($\sigma$): Expresa la dispersión en las mismas unidades que la variable original: $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = +\sqrt{E[X^2] - \mu^2}$$

Función de distribución acumulada $F(x)$

Determina la probabilidad acumulada hasta un valor $x \in \mathbb{R}$:

Es una función escalonada, no decreciente, continua por la derecha, que verifica $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ y $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$.