Una variable aleatoria continua $X$ es aquella capaz de asumir infinitos valores no numerables a lo largo de un intervalo continuo de la recta real $\mathbb{R}$ (como el tiempo, la masa, la longitud o la temperatura).
Función de densidad de probabilidad $f(x)$
En el dominio continuo, la probabilidad de que la variable tome un valor puntual exacto es nula: $P(X = c) = 0$ para cualquier constante $c$. La probabilidad se define exclusivamente sobre intervalos mediante el área bajo la curva de una función de densidad $f(x)$:
$$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$$Propiedades obligatorias de la función de densidad
- No negatividad: $f(x) \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
- Área total unitaria: La integral en todo el dominio es la certeza absoluta: $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$$
- Indiferencia de extremos en intervalos: Como la probabilidad puntual es cero: $$P(a \le X \le b) = P(a < X \le b) = P(a \le X < b) = P(a < X < b)$$
Función de distribución acumulada $F(x)$
Mide la probabilidad acumulada desde $-\infty$ hasta la cota $x$:
$$F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$$Por el Teorema Fundamental del Cálculo, si $f(t)$ es continua, la derivada de la función de distribución coincide con la función de densidad: $F'(x) = f(x)$.
Parámetros de la distribución continua
- Media o Esperanza: $\mu = E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x)\,dx$
- Varianza: $\sigma^2 = \text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,dx = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\,dx\right) - \mu^2$
Dada la función de densidad continua $f(x) = \frac{1}{2}x$ definida para $x \in [0, 2]$ y $f(x) = 0$ en el resto:
1) Área total bajo la curva (Certeza unitaria):
2) Cálculo de probabilidad en un subintervalo:
Ejemplos Canónicos Desarrollados
Sea la función $f(x) = c(2 - x)$ definida en el intervalo $[0, 2]$, y cero fuera de él. Halla la constante $c$ y calcula $P(X < 1)$.
Resolución paso a paso:
1) Calculamos $c$ forzando que la integral total sea 1:
$$\int_0^2 c(2 - x)\,dx = 1 \implies c \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = c\left( 4 - 2 \right) = 2c = 1 \implies c = \frac{1}{2}$$Por tanto, la función de densidad en $[0, 2]$ es $f(x) = \frac{2-x}{2} = 1 - \frac{x}{2}$.
2) Calculamos la probabilidad $P(X < 1)$:
$$P(X < 1) = \int_0^1 \left(1 - \frac{x}{2}\right)\,dx = \left[ x - \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$$Una variable $X$ sigue una distribución uniforme continua en el intervalo $[2, 6]$, con $f(x) = \frac{1}{4}$. Calcula su media y su desviación típica.
Resolución paso a paso:
1) Esperanza matemática $\mu$:
$$\mu = \int_2^6 x \left(\frac{1}{4}\right)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_2^6 = \frac{1}{8}(36 - 4) = \frac{32}{8} = 4$$2) Momento de segundo orden $E[X^2]$:
$$E[X^2] = \int_2^6 x^2 \left(\frac{1}{4}\right)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_2^6 = \frac{1}{12}(216 - 8) = \frac{208}{12} = \frac{52}{3} \approx 17.333$$3) Varianza y desviación típica:
$$\sigma^2 = \frac{52}{3} - 4^2 = \frac{52}{3} - 16 = \frac{4}{3} \approx 1.333 \implies \sigma = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$$Dada la función de densidad $f(x) = \frac{1}{8}x$ para $x \in [0, 4]$, halla su función de distribución $F(x)$ y la mediana (valor $M$ tal que $F(M) = 0.5$).
Resolución paso a paso:
1) Función de distribución acumulada $F(x)$ para $x \in [0, 4]$:
$$F(x) = \int_0^x \frac{1}{8}t\,dt = \left[\frac{t^2}{16}\right]_0^x = \frac{x^2}{16}$$Definida a trozos completa:
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ \frac{x^2}{16} & \text{si } 0 \le x \le 4 \\ 1 & \text{si } x > 4 \end{cases}$$2) Mediana $M$ que divide la probabilidad acumulada al 50%:
$$F(M) = 0.5 \implies \frac{M^2}{16} = 0.5 \implies M^2 = 8 \implies M = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.8284$$