La Desigualdad de Chebycheff (o Bienaymé-Chebyshev) es un teorema fundamental del cálculo de probabilidades que proporciona una cota superior o inferior universal para la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe de su media, sin importar la forma de la función de distribución (discreta o continua), conociendo únicamente su esperanza $\mu$ y su varianza $\sigma^2$.
Enunciado del Teorema
Sea $X$ una variable aleatoria cualquiera con media $\mu = E[X]$ y desviación típica finita $\sigma > 0$. Para cualquier número real $k > 0$ (o distancia $\epsilon = k\sigma > 0$):
$$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$$Forma complementaria (probabilidad de concentración)
Considerando el suceso contrario, la probabilidad de que la variable caiga dentro de una vecindad de $k$ desviaciones típicas alrededor de la media está acotada inferiormente por:
$$P(|X - \mu| < k\sigma) = P(\mu - k\sigma < X < \mu + k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$$Interpretación de cotas según el valor de $k$
- Para $k = 2$: Al menos el $75\%$ de los valores están a menos de $2\sigma$ de la media: $$P(|X - \mu| < 2\sigma) \ge 1 - \frac{1}{4} = 0.75 \quad (75\%)$$
- Para $k = 3$: Al menos el $88.89\%$ de los valores se concentran a menos de $3\sigma$ de la media: $$P(|X - \mu| < 3\sigma) \ge 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0.8889 \quad (88.89\%)$$
- Para $k = 4$: Al menos el $93.75\%$ de la masa probabilística está en el intervalo $(\mu - 4\sigma, \mu + 4\sigma)$.
Aunque la cota suele ser conservadora (pesimista) respecto a distribuciones simétricas como la normal, su poder radica en su carácter estrictamente no paramétrico y universal.
Una variable aleatoria $X$ tiene media $\mu = 50$ y desviación típica $\sigma = 5$, sin conocer la forma de su distribución.
Para $k = 2$, acotamos la probabilidad de que $X$ caiga dentro del intervalo $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma) = (40, 60)$:
Garantizamos con rigor universal que al menos el $75\%$ de las observaciones están a menos de dos desviaciones típicas de la media.
Ejemplos Canónicos Desarrollados
Una fábrica produce piezas metálicas cuya longitud media es de $20\text{ cm}$ con una varianza de $0.25\text{ cm}^2$. Sin conocer el tipo de distribución, ¿qué porcentaje mínimo de piezas medirá entre $18.5\text{ cm}$ y $21.5\text{ cm}$?
Resolución paso a paso:
1) Identificamos los parámetros:
$$\mu = 20, \quad \sigma^2 = 0.25 \implies \sigma = \sqrt{0.25} = 0.5\text{ cm}$$2) Analizamos el intervalo pedido $(18.5, 21.5)$:
$$18.5 < X < 21.5 \iff -1.5 < X - 20 < 1.5 \iff |X - 20| < 1.5$$3) Calculamos $k$ relacionando la amplitud con $\sigma$:
$$k\sigma = 1.5 \implies k(0.5) = 1.5 \implies k = 3$$4) Aplicamos la desigualdad de Chebycheff:
$$P(|X - 20| < 1.5) \ge 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0.8889$$Se garantiza que como mínimo el $88.89\%$ de las piezas cumple con las especificaciones.
El rendimiento medio de un fondo de inversión es del $8\%$ con una desviación típica del $3\%$. Acota la probabilidad de que el rendimiento se desvíe de la media en $6\%$ o más.
Resolución paso a paso:
Buscamos acotar la probabilidad del suceso extremo $|X - 8| \ge 6$:
$$k\sigma = 6 \implies k(3) = 6 \implies k = 2$$Por la desigualdad de Chebycheff para las colas:
$$P(|X - 8| \ge 6) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$$La probabilidad de sufrir una desviación igual o superior al $6\%$ (rendimientos inferiores al $2\%$ o superiores al $14\%$) es a lo sumo del $25\%$.
¿Cuántas desviaciones típicas alrededor de la media debemos considerar como mínimo para asegurar que al menos el $99\%$ de la distribución quede encerrada en dicho intervalo?
Resolución paso a paso:
Planteamos la condición de concentración mínima del $99\%$:
$$1 - \frac{1}{k^2} = 0.99 \implies \frac{1}{k^2} = 1 - 0.99 = 0.01 = \frac{1}{100}$$Despejamos $k$:
$$k^2 = 100 \implies k = 10$$Debemos abarcar un intervalo de $\mu \pm 10\sigma$ para asegurar con certeza universal (válida para cualquier distribución) que contiene al menos el $99\%$ de la probabilidad.