1. Definición Axiomática de Kolmogorov
La probabilidad es una función \( P: \mathcal{P}(E) \to \mathbb{R} \) que asigna a cada suceso \( A \) un número real cumpliendo tres axiomas inquebrantables:
Axioma 1 (No negatividad): Para cualquier suceso \( A \), su probabilidad está comprendida entre 0 y 1: \[ 0 \le P(A) \le 1 \]
Axioma 2 (Certidumbre): La probabilidad del suceso seguro \( E \) es la unidad: \[ P(E) = 1 \]
Axioma 3 (Aditividad para sucesos incompatibles): Si \( A \cap B = \emptyset \): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
Al extraer una carta al azar de una baraja de 40 naipes, calculemos la probabilidad de obtener un as:
2. Regla de Laplace para Sucesos Equiprobables
Cuando todos los sucesos elementales del espacio muestral tienen la misma posibilidad de ocurrir:
3. Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Regla de Laplace en dado cúbico
Calcular la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado.
Casos posibles: \( 6 \). Casos favorables (\( \{2, 3, 5\} \)): \( 3 \).
\[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 \]
Ejemplo 2: Probabilidad del suceso imposible
Demostrar a partir de los axiomas que \( P(\emptyset) = 0 \).
Como \( E \cup \emptyset = E \) y \( E \cap \emptyset = \emptyset \), por el axioma 3: \( P(E \cup \emptyset) = P(E) + P(\emptyset) \).
\[ P(E) = P(E) + P(\emptyset) \implies 1 = 1 + P(\emptyset) \implies P(\emptyset) = 0 \]
Ejemplo 3: Extracción en baraja española
Probabilidad de extraer un rey de una baraja de 40 cartas.
Casos favorables: 4 reyes. Casos posibles: 40 cartas.
\[ P(\text{Rey}) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0.1 \]