📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.3.1 Matriz escalonada

Aprende el concepto de matriz escalonada y matriz escalonada reducida por filas, identificación de pivotes y escalones para 2º de Bachillerato.

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1. Concepto de Matriz Escalonada

Una matriz se dice escalonada por filas (o simplemente escalonada) si presenta una estructura en forma de "escalones" descendentes de izquierda a derecha. Esta disposición es el resultado natural de realizar operaciones elementales sobre las filas mediante el algoritmo de Gauss.

Definición Formal: Matriz Escalonada por Filas

Una matriz $A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$ es escalonada si satisface simultáneamente las siguientes dos condiciones:

Filas nulas al final: Si existen filas compuestas enteramente por ceros, están situadas en la parte inferior de la matriz.
Avance estricto de pivotes: En cada fila no nula, el primer elemento no nulo (denominado pivote o elemento principal) se encuentra estrictamente a la derecha del pivote de la fila inmediatamente superior.

A = \begin{pmatrix} \mathbf{p_1} & * & * & * & * \\ 0 & 0 & \mathbf{p_2} & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{p_3} & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad p_i \neq 0

📌 Ejemplo Concreto de Matriz Escalonada y sus Pivotes:

Consideremos la siguiente matriz de dimensión $3 \times 4$:

M = \begin{pmatrix} \mathbf{3} & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & \mathbf{4} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{-1} \end{pmatrix}

Es escalonada porque los primeros elementos no nulos de cada fila (pivotes: $p_1 = 3$ en columna 1, $p_2 = 4$ en columna 3, $p_3 = -1$ en columna 4) avanzan estrictamente hacia la derecha fila a fila.

2. Matriz Escalonada Reducida por Filas

En muchas aplicaciones (como en la resolución escalonada de sistemas de ecuaciones lineales), se busca una forma canónica aún más simplificada.

Definición: Matriz Escalonada Reducida

Una matriz escalonada es reducida por filas si cumple adicionalmente:

Pivotes unitarios: Cada pivote es igual a $1$ ($p_i = 1$).
Ceros en la columna del pivote: En la columna donde se sitúa cada pivote, todos los demás elementos (tanto por encima como por debajo) son exactamente cero.

R = \begin{pmatrix} \mathbf{1} & 0 & * & 0 & * \\ 0 & \mathbf{1} & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{1} & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Propiedad de Unicidad

Mientras que una matriz puede tener infinitas formas escalonadas equivalentes según las operaciones elementales realizadas, la matriz escalonada reducida por filas es única para cada matriz dada.

📌 Ejemplo Concreto de Matriz Escalonada Reducida:

Consideremos la siguiente matriz de dimensión $3 \times 4$:

R = \begin{pmatrix} \mathbf{1} & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{1} \end{pmatrix}

Es escalonada reducida porque todos sus pivotes valen $1$ y en cada columna de pivote (columnas 1, 3 y 4) todos los demás elementos situados por encima y por debajo son estrictamente ceros.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz Cuadrada de Orden 3

Enunciado: Determinar si la matriz $A$ es escalonada, identificando sus pivotes:

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Paso 1: Localizar los primeros elementos no nulos de cada fila

Fila 1: el primer elemento no nulo es $a_{11} = 2$ (columna 1).
Fila 2: el primer elemento no nulo es $a_{22} = 5$ (columna 2).
Fila 3: el primer elemento no nulo es $a_{33} = -2$ (columna 3).

Paso 2: Comprobar la condición de escalonamiento

Los índices de columna de los pivotes son $j_1 = 1 < j_2 = 2 < j_3 = 3$. Debajo de cada pivote todos los elementos son ceros y no hay filas nulas.

Conclusión: La matriz $A$ es una matriz escalonada por filas (en este caso particular, es además triangular superior).

Ejemplo 2: Matriz Rectangular con Filas Nulas (Orden 3x4)

Enunciado: Analizar si la matriz rectangular $B$ cumple las condiciones de matriz escalonada:

B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Paso 1: Identificación de pivotes y posición de filas nulas

Fila 1: pivote $p_1 = 1$ en columna 1.
Fila 2: pivote $p_2 = 4$ en columna 3 ($j_2 = 3 > 1$).
Fila 3: fila compuesta enteramente por ceros, situada en la parte inferior.

Conclusión: La matriz $B$ es escalonada. El número de filas no nulas es 2, lo que determina directamente que su rango es 2.

Ejemplo 3: Identificación de Matriz Escalonada Reducida

Enunciado: Determinar si la siguiente matriz $C$ es escalonada reducida por filas:

C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Paso 1: Verificar si es escalonada

Pivotes en columna 1 ($c_{11}=1$) y columna 2 ($c_{22}=1$). Fila nula al final. Es escalonada.

Paso 2: Verificar condiciones de forma reducida

1) Los dos pivotes son iguales a 1.
2) En la columna 1, el único elemento no nulo es el pivote $c_{11}$.
3) En la columna 2, el único elemento no nulo es el pivote $c_{22}$ (arriba hay un 0).

Conclusión: La matriz $C$ es una matriz escalonada reducida por filas.

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