📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.3.2 Método de Gauss para escalonar una matriz

Aprende el algoritmo de eliminación de Gauss para escalonar matrices paso a paso con operaciones elementales por filas.

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1. Fundamentos de la Eliminación Gaussiana

El método de Gauss es un algoritmo sistemático del álgebra lineal que transforma cualquier matriz en una matriz escalonada mediante una sucesión de operaciones elementales por filas. Es el método computacional más eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular el rango de una matriz e invertir matrices.

Operaciones Elementales de Fila Admisibles

Dada una matriz $A$, las siguientes operaciones transforman $A$ en una matriz equivalente por filas ($A \sim A'$):

$F_i \leftrightarrow F_j$: Intercambio de dos filas.
$F_i \leftarrow k \cdot F_i$ ($k \neq 0$): Multiplicación de una fila por un escalar no nulo.
$F_i \leftarrow F_i + k \cdot F_j$: Suma a la fila $i$ de un múltiplo de la fila $j$.

📌 Ejemplo Concreto de Operaciones Elementales de Fila:

Consideremos la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$. Aplicamos operaciones elementales:

1. Dividimos la primera fila entre 2 ($F_1 \leftarrow \frac{1}{2}F_1$): $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.

2. Restamos la primera a la segunda ($F_2 \leftarrow F_2 - F_1$): $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

La matriz resultante es equivalente por filas a la original y se encuentra ya en forma escalonada.

2. Algoritmo Sistemático Paso a Paso

Para escalonar una matriz $A$ de dimensión $m \times n$ se sigue el siguiente protocolo:

Elección del pivote: En la primera columna con elementos no nulos, seleccionar un elemento distinto de cero y colocarlo en la posición $(1,1)$ permutando filas si es preciso. Es muy recomendable que valga $1$ o $-1$.
Anulación de elementos inferiores: Para cada fila inferior $k > 1$, restar un múltiplo adecuado de la fila pivote para obtener un cero en esa columna: $F_k \leftarrow F_k - \left(\frac{a_{k1}}{a_{11}}\right) F_1$
Iteración: Aislar la primera fila y repetir el proceso con la submatriz resultante hasta que no queden filas no nulas por procesar.

📌 Ejemplo Concreto del Algoritmo de Gauss en Matriz 2 × 3:

Escalonamos la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & -5 & 11 \end{pmatrix}$:

Tomamos el pivote $p_1 = 1$ en $(1,1)$ y hacemos cero bajo él mediante $F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1$:

F_2 - 3F_1 = (3, -5, 11) - 3(1, -2, 3) = (0, 1, 2) \implies M_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

La matriz ha quedado completamente escalonada con 2 pivotes no nulos.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Escalonamiento de Matriz 3x3

Enunciado: Escalonar por el método de Gauss la siguiente matriz cuadrada:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 8 \end{pmatrix}

Paso 1: Anular elementos bajo el primer pivote ($a_{11}=1$)

Efectuamos las operaciones elementales simultáneas:
$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$: $(2, 5, 1) - 2(1, 2, -1) = (0, 1, 3)$
$F_3 \leftarrow F_3 + F_1$: $(-1, 1, 8) + (1, 2, -1) = (0, 3, 7)$

A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix}

Paso 2: Anular elementos bajo el segundo pivote ($a_{22}=1$)

Operación: $F_3 \leftarrow F_3 - 3F_2$: $(0, 3, 7) - 3(0, 1, 3) = (0, 0, -2)$

A_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Conclusión: La matriz ha quedado completamente escalonada con 3 filas no nulas.

Ejemplo 2: Matriz Rectangular de Dimensión 3x4

Enunciado: Obtener una forma escalonada de la matriz rectangular $B$:

B = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & 6 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 3 & 5 & -7 & 7 \end{pmatrix}

Paso 1: Simplificar la primera fila

$F_1 \leftarrow \frac{1}{2}F_1$: obtenemos $F_1 = (1, 2, -1, 3)$.

Paso 2: Ceros en la primera columna

$F_2 \leftarrow F_2 - F_1 = (0, 1, 2, 2)$
$F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1 = (0, -1, -4, -2)$

Paso 3: Ceros en la segunda columna

$F_3 \leftarrow F_3 + F_2 = (0, 0, -2, 0)$

B_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}

Conclusión: Matriz escalonada con 3 filas no nulas (rango 3).

Ejemplo 3: Aparición de Filas Nulas por Dependencia Lineal

Enunciado: Escalonar la matriz $C$:

C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Paso 1: Ceros en la primera columna

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 = (0, 3, -3)$
$F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1 = (0, 3, -3)$

Paso 2: Ceros en la segunda columna

$F_3 \leftarrow F_3 - F_2 = (0, 0, 0)$

C_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Conclusión: La tercera fila se anula por completo debido a que era combinación lineal de las dos primeras ($F_3 = F_1 + F_2$).

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