📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.3.3 Método de Gauss para hallar el rango de una matriz

Aprende a calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss, determinando el número de filas linealmente independientes.

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1. Definición y Significado del Rango

El rango de una matriz es uno de los conceptos axiales del álgebra lineal. Proporciona una medida exacta de la "dimensionalidad" de la información contenida en la matriz, descartando dependencias lineales y redundancias.

Definición de Rango de una Matriz

Dada una matriz $A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$, se define su rango, denotado $\text{rg}(A)$ o $\text{rango}(A)$, como:

El número máximo de filas linealmente independientes de $A$.
Equivalentemente, el número máximo de columnas linealmente independientes de $A$.

Como consecuencia inmediata del teorema de acotación dimensional:

\text{rg}(A) \leq \min(m, n)

📌 Ejemplo Concreto de Acotación y Significado del Rango:

Consideremos una matriz $A$ de dimensión $2 \times 4$. La cota máxima teórica para su rango es:

\text{rg}(A) \le \min(2, 4) = 2

Esto significa que $A$ no puede tener en ningún caso más de 2 vectores fila o columna linealmente independientes.

2. Teorema Fundamental del Rango por Gauss

Dado que las operaciones elementales de fila consisten en combinaciones lineales invertibles, no alteran en absoluto la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores fila.

Regla Práctica de Gauss

El rango de una matriz coincide exactamente con el número de filas no nulas que quedan tras escalonar la matriz mediante el método de Gauss:

\text{rg}(A) = \text{nº de filas no nulas de } A_{\text{esc}} = \text{nº de pivotes}

📌 Ejemplo Concreto de Cálculo de Rango mediante Filas no Nulas:

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$, aplicamos la operación elemental $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$:

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Como la matriz escalonada tiene exactamente 1 fila no nula (1 pivote), concluimos que $\text{rg}(M) = 1$.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz Cuadrada con Columnas Dependientes

Enunciado: Hallar el rango de la matriz $A$ por el método de Gauss:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 6 & 10 \end{pmatrix}

Paso 1: Anular elementos bajo el primer pivote

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$: $(2, 4, 7) - 2(1, 2, 3) = (0, 0, 1)$
$F_3 \leftarrow F_3 - 3F_1$: $(3, 6, 10) - 3(1, 2, 3) = (0, 0, 1)$

A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Paso 2: Eliminar la tercera fila

$F_3 \leftarrow F_3 - F_2 = (0, 0, 0)$

A_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Conclusión: En la matriz escalonada quedan 2 filas no nulas, luego $\mathbf{\text{rg}(A) = 2}$.

Ejemplo 2: Matriz Rectangular de Dimensión 3x4

Enunciado: Determinar el rango de la matriz $B$:

B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Paso 1: Ceros en columna 1

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 = (0, 0, 1, 1)$
$F_3 \leftarrow F_3 + F_1 = (0, 0, 2, 2)$

Paso 2: Ceros en la columna del segundo pivote

$F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2 = (0, 0, 0, 0)$

B_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Conclusión: Hay 2 filas no nulas, por lo que $\mathbf{\text{rg}(B) = 2}$.

Ejemplo 3: Rango de una Matriz con Parámetro Real (Tipo EBAU)

Enunciado: Discutir el rango de la matriz $C$ en función de los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & k \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Paso 1: Escalonar la matriz mediante operaciones de fila

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 = (0, 1, k - 2)$
$F_3 \leftarrow F_3 - F_1 = (0, 1, 2)$

Paso 2: Anular el elemento de la fila 3

$F_3 \leftarrow F_3 - F_2 = (0, 0, 2 - (k - 2)) = (0, 0, 4 - k)$

C_{\text{esc}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & k - 2 \\ 0 & 0 & 4 - k \end{pmatrix}

Paso 3: Discusión según el parámetro

• Si $4 - k = 0 \iff \mathbf{k = 4}$: la fila 3 es $(0, 0, 0)$. Hay 2 filas no nulas $\implies \mathbf{\text{rg}(C) = 2}$.
• Si $4 - k \neq 0 \iff \mathbf{k \neq 4}$: la fila 3 tiene un pivote no nulo. Hay 3 filas no nulas $\implies \mathbf{\text{rg}(C) = 3}$.

Conclusión: Para $k = 4$, $\text{rg}(C) = 2$; para todo $k \neq 4$, $\text{rg}(C) = 3$.

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