Ejercicios Resueltos: 1.3.3 Método de Gauss para hallar el rango de una matriz

Colección de problemas típicos de examen de 2º de Bachillerato y pruebas EBAU resueltos paso a paso con justificación algebraica completa.

Ejercicios de Autoevaluación: Rango por Gauss

Practica el cálculo del rango escalonando matrices con números y parámetros.

Ejercicio 1: Rango con Parámetro

Halla el rango de la matriz $M$ en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Ver Solución Detallada

Intercambiamos $F_2 \leftrightarrow F_3$ para bajar el parámetro:
$F_1 = (1, 2, -1)$, $F_2 = (1, 1, 2)$, $F_3 = (2, a, 1)$.

Hacemos ceros en la primera columna:
$F_2 \leftarrow F_2 - F_1 = (0, -1, 3)$
$F_3 \leftarrow F_3 - 2F_1 = (0, a - 4, 3)$

Sumamos $F_3 + (a - 4)F_2$ o despejamos: $F_3 + (a - 4)F_2 = (0, 0, 3 + 3(a - 4)) = (0, 0, 3a - 9)$.

• Si $3a - 9 = 0 \iff a = 3$: $\text{rg}(M) = 2$.
• Si $a \neq 3$: $\text{rg}(M) = 3$.