📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.4.1 Definición de matriz inversa

Concepto de matriz cuadrada regular y singular, condición necesaria y suficiente de invertibilidad mediante el determinante y unicidad de la inversa.

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1. Definición Formal de Matriz Inversa

En el álgebra de matrices, la división no está definida directamente. En su lugar, el papel de "dividir" por una matriz lo asume la multiplicación por su matriz inversa.

Definición: Matriz Inversa

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matriz cuadrada de orden $n$. Se dice que $A$ es invertible (o regular) si existe una matriz $A^{-1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tal que:

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n

donde $I_n$ representa la matriz identidad de orden $n$. Si no existe tal matriz, $A$ se denomina matriz singular.

📌 Ejemplo Concreto de Comprobación de la Matriz Inversa:

Comprobemos que $B = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ es la matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$:

A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -10 + 10 \\ 3 - 3 & -5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2

Al verificarse $A \cdot B = I_2$, confirmamos formalmente que $B = A^{-1}$.

2. Teorema de Existencia y Unicidad

Condición Necesaria y Suficiente de Invertibilidad

Una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero:

\exists A^{-1} \iff |A| \neq 0 \iff \text{rg}(A) = n

Además, de la relación $|A \cdot A^{-1}| = |I_n| = 1$ se deduce que:

|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}

Unicidad de la Matriz Inversa

Si una matriz posee inversa, esta es única. En efecto, si existieran dos inversas $B$ y $C$ para $A$, tendríamos $B = B \cdot I_n = B \cdot (A \cdot C) = (B \cdot A) \cdot C = I_n \cdot C = C$.

📌 Ejemplo Concreto de Condición de Regularidad e Invertibilidad:

Consideremos la matriz $M = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$. Calculamos su determinante:

$$|M| = 4(3) - 2(6) = 12 - 12 = 0$$

Como $|M| = 0$, la matriz es singular y carece de matriz inversa ($M^{-1}$ no existe).

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz Cuadrada de Orden 2

Enunciado: Averiguar si la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ es invertible:

Paso 1: Cálculo del determinante

$$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 6 - 5 = 1$$

Paso 2: Aplicar la condición de regularidad

Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz es regular y el rango es $2$ (rango máximo).

Conclusión: La matriz $A$ es invertible.

Ejemplo 2: Matriz Singular de Orden 3

Enunciado: Determinar si la matriz $B$ admite inversa:

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}

Paso 1: Comprobación de relaciones de dependencia

Observamos que la fila 3 es combinación lineal de las dos primeras: $F_3 = F_1 + F_2$ ($(5, 7, 9) = (1, 2, 3) + (4, 5, 6)$).

Paso 2: Deducción del determinante

Por las propiedades de los determinantes, $|B| = 0$.

Conclusión: La matriz $B$ es singular y por tanto NO posee inversa.

Ejemplo 3: Invertibilidad de una Matriz Triangular de Orden 3

Enunciado: Justificar si la matriz triangular inferior $C$ es invertible:

C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 7 & -5 \end{pmatrix}

Paso 1: Determinante por diagonal

$$|C| = 3 \cdot 2 \cdot (-5) = -30$$

Paso 2: Determinante de la inversa

Como $|C| = -30 \neq 0$, existe $C^{-1}$, y su determinante vale $|C^{-1}| = -\frac{1}{30}$.

Conclusión: La matriz $C$ es regular e invertible.

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