📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.4.2 Cálculo de la inversa de una matriz (Método de los adjuntos)

Fórmula clásica de la matriz adjunta y traspuesta para calcular la inversa de una matriz de orden 2 y 3 paso a paso.

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1. Fórmula Clásica de la Matriz Inversa

El método de los adjuntos (o método de la matriz adjunta) es el procedimiento analítico estándar para calcular la inversa de matrices cuadradas de orden 2 y 3 en la prueba de acceso a la universidad (EBAU).

Fórmula de la Matriz Inversa

Dada una matriz regular $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ con $|A| \neq 0$, su matriz inversa viene dada por:

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t

donde $\text{Adj}(A)$ representa la matriz de adjuntos y $(\text{Adj}(A))^t$ es su traspuesta.

📌 Ejemplo Concreto de la Fórmula de los Adjuntos (Orden 2):

Para una matriz $2 \times 2$ genérica $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ con $|M| = ad - bc \neq 0$, los adjuntos son $M_{11}=d, M_{12}=-c, M_{21}=-b, M_{22}=a$.

Trasponiendo la matriz de adjuntos y dividiendo entre el determinante se obtiene la fórmula directa:

M^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Se intercambian los elementos de la diagonal principal y se cambia de signo la diagonal secundaria.

2. Algoritmo de Cálculo en 4 Pasos

Cálculo de $|A|$: Si $|A| = 0$, la matriz no tiene inversa.
Cálculo de adjuntos: Para cada elemento $a_{ij}$, calcular $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$.
Trasposición de la matriz adjunta: Formar $(\text{Adj}(A))^t$.
Multiplicación por el escalar $\frac{1}{|A|}$: Dividir cada entrada entre el determinante.

📌 Ejemplo Concreto de Aplicación del Algoritmo en 4 Pasos:

Invertir la matriz $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$:

1. Determinante: $|C| = 1(5) - 2(3) = 5 - 6 = -1 \neq 0$.

2. Matriz de adjuntos: $\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

3. Traspuesta de adjuntos: $(\text{Adj}(C))^t = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$.

4. Multiplicación por $\frac{1}{|C|} = \frac{1}{-1} = -1$:

C^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz de Orden 2x2

Enunciado: Hallar la inversa de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$:

Paso 1: Determinante

$$|A| = 3(2) - 1(5) = 6 - 5 = 1 \neq 0$$

Paso 2: Matriz adjunta y su traspuesta

Adjuntos: $A_{11}=2$, $A_{12}=-5$, $A_{21}=-1$, $A_{22}=3$.
$$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$

Conclusión: Al ser $|A| = 1$, la inversa es directamente: $\mathbf{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}}$.

Ejemplo 2: Matriz de Orden 3x3 Paso a Paso

Enunciado: Invertir la matriz $B$:

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}

Paso 1: Determinante

Desarrollando por la fila 1: $|B| = 1(-8 - 3) + 2(2 + 4) = -11 + 12 = 1$.

Paso 2: Cálculo de los 9 adjuntos

$B_{11} = +(-8 - 3) = -11$, $B_{12} = -(16 - 12) = -4$, $B_{13} = +(2 + 4) = 6$
$B_{21} = -(0 - 2) = 2$, $B_{22} = +(8 - 8) = 0$, $B_{23} = -(1 - 0) = -1$
$B_{31} = +(0 + 2) = 2$, $B_{32} = -(3 - 4) = 1$, $B_{33} = +(-1 - 0) = -1$

Paso 3: Matriz adjunta y traspuesta

\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} -11 & -4 & 6 \\ 2 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(B))^t = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}

Conclusión: $\mathbf{B^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}}$.

Ejemplo 3: Matriz con Determinante Distinto de Uno

Enunciado: Hallar la inversa de $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$:

Paso 1: Determinante

$$|C| = 2(3) - 1(4) = 6 - 4 = 2$$

Paso 2: Adjunta traspuesta

$$(\text{Adj}(C))^t = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$

Conclusión: $\mathbf{C^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}$.

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