📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.4.3 Cálculo de la inversa de una matriz (Método de Gauss)

Algoritmo de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa mediante transformaciones elementales sobre la matriz ampliada (A|I).

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1. Fundamento Teórico de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una generalización del escalonamiento gaussiano que permite calcular la matriz inversa mediante operaciones elementales de fila aplicadas en paralelo a una matriz ampliada.

Esquema de la Matriz Ampliada

Se construye la matriz $(A \mid I_n)$ y se aplican operaciones elementales por filas hasta que la matriz del bloque izquierdo se transforme en la matriz identidad $I_n$:

(A \mid I_n) \xrightarrow{\text{Operaciones por filas}} (I_n \mid A^{-1})

Si en algún momento del proceso una fila del bloque izquierdo se anula por completo, significa que $\text{rg}(A) < n$, por lo que la matriz no es invertible.

📌 Ejemplo Concreto del Planteamiento Ampliado (A|I):

Para invertir la matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$, se dispone la matriz ampliada agregando a su derecha la identidad $I_2$:

(M \mid I_2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & \mid & 1 & 0 \\ 5 & 3 & \mid & 0 & 1 \end{pmatrix}

Cualquier operación elemental que se realice para transformar el bloque izquierdo en $I_2$ se aplica simultáneamente al bloque derecho.

2. Protocolo de Ejecución

Fase descendente: Hacer ceros por debajo de la diagonal principal (escalonamiento).
Fase ascendente: Hacer ceros por encima de los pivotes empezando por la última fila.
Normalización: Si los pivotes no son $1$, dividir cada fila por su pivote correspondiente.

📌 Ejemplo Concreto de Fase Ascendente y Descendente en Gauss-Jordan:

Partiendo de $(A \mid I) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & \mid & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \mid & -2 & 1 \end{pmatrix}$, donde la fase descendente ya está completada:

Aplicamos la fase ascendente restando 3 veces la fila 2 a la fila 1 ($F_1 \leftarrow F_1 - 3F_2$):

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \mid & 1 - 3(-2) & 0 - 3(1) \\ 0 & 1 & \mid & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \mid & 7 & -3 \\ 0 & 1 & \mid & -2 & 1 \end{pmatrix}

Al quedar la identidad a la izquierda, la matriz inversa es $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz de Orden 2x2

Enunciado: Invertir $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ mediante Gauss-Jordan:

Paso 1: Matriz ampliada inicial

\begin{pmatrix} 1 & 2 & \mid & 1 & 0 \\ 3 & 7 & \mid & 0 & 1 \end{pmatrix}

Paso 2: Cero bajo el pivote ($F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1$)

\begin{pmatrix} 1 & 2 & \mid & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \mid & -3 & 1 \end{pmatrix}

Paso 3: Cero sobre el segundo pivote ($F_1 \leftarrow F_1 - 2F_2$)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \mid & 7 & -2 \\ 0 & 1 & \mid & -3 & 1 \end{pmatrix}

Conclusión: $\mathbf{A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}}$.

Ejemplo 2: Matriz de Orden 3x3

Enunciado: Calcular la inversa de $B$ por Gauss-Jordan:

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}

Paso 1: Fase descendente

$F_3 \leftarrow F_3 - F_1$: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \mid & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$F_3 \leftarrow F_3 - F_2$: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \mid & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Paso 2: Fase ascendente

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_3$: $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \mid & 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}$
$F_1 \leftarrow F_1 - F_3$: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \mid & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
$F_1 \leftarrow F_1 - F_2$: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \mid & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Conclusión: $\mathbf{B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$.

Ejemplo 3: Detección Inmediata de Singularidad

Enunciado: Aplicar Gauss a la matriz $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$:

Paso 1: Operación de eliminación

$F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1 \implies \begin{pmatrix} 1 & 2 & \mid & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \mid & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Conclusión: Al obtener una fila completa de ceros a la izquierda, es imposible llegar a la identidad $\implies C$ no tiene inversa.

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