📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.4.4 Propiedades de la inversa de una matriz

Propiedades algebraicas de la matriz inversa: inversa del producto, de la traspuesta, de la potencia y del producto por escalar.

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1. Tabla de Propiedades de la Matriz Inversa

El manejo algebraico de matrices invertibles requiere el dominio riguroso de sus propiedades operacionales, fundamentales para despejar incógnitas en ecuaciones matriciales y simplificar expresiones complejas.

Propiedades Algebraicas Fundamentales

Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dos matrices regulares y $k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$:

Involución: $(A^{-1})^{-1} = A$
Inversa del producto: $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ (¡Atención al cambio de orden!)
Inversa y trasposición: $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$
Inversa de un múltiplo escalar: $(k \cdot A)^{-1} = \frac{1}{k} \cdot A^{-1}$
Inversa de potencias: $(A^p)^{-1} = (A^{-1})^p = A^{-p}$ ($p \in \mathbb{N}$)
Determinante de la inversa: $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

📌 Ejemplo Concreto de Inversa del Producto y de la Traspuesta:

Sean $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculamos $(A \cdot B)^{-1}$ invirtiendo el orden de los factores:

(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

Asimismo, la inversa de la traspuesta de $A$ es la traspuesta de su inversa: $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

2. Demostración: Inversa del Producto

Para comprobar que $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$, basta verificar que al multiplicarlo por $(A \cdot B)$ se obtiene la identidad:

(A \cdot B) \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) = A \cdot (B \cdot B^{-1}) \cdot A^{-1} = A \cdot I_n \cdot A^{-1} = A \cdot A^{-1} = I_n

📌 Ejemplo Concreto de la Demostración con Matrices Numéricas:

Verificamos que $(A \cdot B) \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) = I_2$:

Por la propiedad asociativa del producto matricial:

(A \cdot B) \cdot (B^{-1} \cdot A^{-1}) = A \cdot (B \cdot B^{-1}) \cdot A^{-1} = A \cdot I_2 \cdot A^{-1} = A \cdot A^{-1} = I_2

Queda rigurosamente demostrado que el inverso de $A \cdot B$ es necesariamente $B^{-1} \cdot A^{-1}$.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo de $(A \cdot B)^{-1}$ a partir de inversas conocidas

Enunciado: Dadas $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, hallar $(A \cdot B)^{-1}$:

Paso 1: Aplicar la propiedad del producto

$$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$$

Paso 2: Multiplicación matricial

(A \cdot B)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 & 2 \cdot 2 + 0 \\ -1(1) + 3(0) & -1(2) + 3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Conclusión: $\mathbf{(A \cdot B)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}$.

Ejemplo 2: Determinante de Expresiones Matriciales (Pregunta EBAU)

Enunciado: Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ con $|A| = 4$. Calcular $|2 \cdot A^{-1} \cdot A^t|$:

Paso 1: Extraer el escalar del determinante de orden 3

$$|2 \cdot A^{-1} \cdot A^t| = 2^3 \cdot |A^{-1} \cdot A^t| = 8 \cdot |A^{-1}| \cdot |A^t|$$

Paso 2: Sustituir determinantes conocidos

$$|A^t| = |A| = 4, \quad |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{4}$$

$$8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 8$$

Conclusión: El determinante vale exactamente $\mathbf{8}$.

Ejemplo 3: Despeje Matricial con Inversas

Enunciado: Despejar la matriz $X$ en la ecuación $A \cdot X \cdot B = C$, sabiendo que $A$ y $B$ son invertibles:

Paso 1: Multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda

$$A^{-1} \cdot (A \cdot X \cdot B) = A^{-1} \cdot C \implies (A^{-1} A) X B = A^{-1} C \implies X B = A^{-1} C$$

Paso 2: Multiplicar por $B^{-1}$ por la derecha

$$(X B) B^{-1} = (A^{-1} C) B^{-1} \implies X = A^{-1} C B^{-1}$$

Conclusión: $\mathbf{X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}}$.

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