📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.4.5 Estudio de la inversa de una matriz dependiente de un parámetro

Discusión analítica de la existencia de matriz inversa según un parámetro real y cálculo explícito de la inversa para valores particulares (tipo EBAU).

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1. Metodología de Discusión Paramétrica

Uno de los ejercicios más clásicos en las pruebas de acceso a la universidad (EBAU) consiste en estudiar la invertibilidad de una matriz cuadrada cuyos coeficientes dependen de un parámetro real $m$ o $k$, y calcular la inversa para un valor concreto del parámetro.

Fase 1: Determinante paramétrico

Se calcula $|A(m)|$ y se factoriza el polinomio resultante en $m$.

Fase 2: Raíces del determinante

Se resuelve la ecuación $|A(m)| = 0$ para encontrar los valores críticos.

Fase 3: Redacción de la conclusión

• Si $m \in \{\text{raíces}\} \implies |A(m)| = 0 \implies \mathbf{\nexists A(m)^{-1}}$ (matriz singular).
• Si $m \notin \{\text{raíces}\} \implies |A(m)| \neq 0 \implies \mathbf{\exists A(m)^{-1}}$ (matriz regular).

📌 Ejemplo Concreto de Discusión Paramétrica Elemental:

Estudiemos para qué valores del parámetro real $k$ es invertible la matriz:

A(k) = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix}

1. Calculamos el determinante en función de $k$:

|A(k)| = k \cdot k - 2 \cdot 2 = k^2 - 4

2. Igualamos a cero para hallar los valores críticos: $k^2 - 4 = 0 \iff k = \pm 2$.

Conclusión: Para $k \neq 2$ y $k \neq -2$, $|A(k)| \neq 0$ y la matriz es invertible ($\exists A(k)^{-1}$). Si $k = 2$ o $k = -2$, $|A(k)| = 0$ y la matriz es singular.

2. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz Cuadrada de Orden 2x2

Enunciado: Discutir la existencia de matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & 9 \end{pmatrix}$:

Paso 1: Determinante

$$|A| = 1(9) - m(m) = 9 - m^2$$

Paso 2: Raíces

$$9 - m^2 = 0 \iff m^2 = 9 \iff m = \pm 3$$

Conclusión:
• Si $m = 3$ o $m = -3$: $|A| = 0$, la matriz no admite inversa.
• Si $m \neq 3$ y $m \neq -3$: $|A| \neq 0$, la matriz es regular y admite inversa.

Ejemplo 2: Matriz 3x3 y Cálculo de Inversa para $m = 2$ (Tipo EBAU)

Enunciado: Dada $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$, estudiar cuándo es invertible y calcular $B^{-1}$ para $m = 2$:

Paso 1: Determinante de $B$

$$|B| = 1(-m^2 - 3) - 1(0 - 4m) = -m^2 + 4m - 3$$

Paso 2: Resolver $-m^2 + 4m - 3 = 0$

$$m^2 - 4m + 3 = 0 \implies m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies m_1 = 1, \quad m_2 = 3$$

Para todo $m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}$, la matriz $B$ es invertible.

Paso 3: Cálculo de la inversa para $m = 2$

Para $m = 2$: $|B(2)| = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.
$$B(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Adjunta traspuesta: $(\text{Adj}(B))^t = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Conclusión: Para $m = 2$, la matriz inversa es $\mathbf{B(2)^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}}$.

Ejemplo 3: Matriz con Parámetro en una Línea

Enunciado: Hallar para qué valores de $k$ es regular $C = \begin{pmatrix} k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$:

Paso 1: Determinante

$$|C| = k(1 - 3) - 1(1 - 2) + 2(3 - 2) = -2k + 1 + 2 = 3 - 2k$$

Paso 2: Ecuación $|C| = 0$

$$3 - 2k = 0 \iff k = \frac{3}{2}$$

Conclusión: La matriz $C$ admite inversa si y solo si $\mathbf{k \neq \frac{3}{2}}$.

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