📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.5.1 Ecuaciones matriciales

Resolución de ecuaciones matriciales lineales mediante el uso de la matriz inversa, despeje cuidadoso respetando la no conmutatividad y factor común.

▶ Ver Explicación Interactiva en Pizarra Digital

1. Reglas Fundamentales del Despeje Matricial

Una ecuación matricial es una igualdad algebraica donde las incógnitas y los coeficientes son matrices. Dado que el producto matricial no es conmutativo ($A \cdot B \neq B \cdot A$) y no existe la división de matrices, el despeje exige operar rigurosamente mediante matrices inversas respetando la posición (izquierda o derecha).

Reglas de Oro del Despeje Matricial

Respetar el lado: Para despejar $A \cdot X = B$, se multiplica por $A^{-1}$ por la izquierda: $A^{-1}(AX) = A^{-1}B \implies (A^{-1}A)X = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B$ Para despejar $X \cdot A = B$, se multiplica por $A^{-1}$ por la derecha: $(XA)A^{-1} = BA^{-1} \implies X(AA^{-1}) = BA^{-1} \implies X = BA^{-1}$
El papel de la Matriz Identidad: Si un término contiene la incógnita $X$ sin coeficientes explícitos, se debe escribir como $I \cdot X$ o $X \cdot I$ para poder extraer factor común: $AX + X = B \iff AX + IX = B \iff (A + I)X = B \iff X = (A + I)^{-1}B$

📌 Ejemplo Concreto de Despeje Matricial por la Izquierda y por la Derecha:

1. Para la ecuación $A \cdot X = B$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros:

A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B \implies (A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B

2. Para la ecuación $X \cdot A = B$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha en ambos miembros:

(X \cdot A) \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \implies X \cdot (A \cdot A^{-1}) = B \cdot A^{-1} \implies X = B \cdot A^{-1}

Debido a la no conmutatividad, escribir $X = A^{-1}B$ en el segundo caso es un error matemático grave.

2. Protocolo de Resolución en Exámenes

Despeje simbólico previo: Dejar la incógnita $X$ aislada algebraicamente en un solo miembro antes de sustituir ninguna matriz numérica.
Comprobación de invertibilidad: Justificar formalmente que la matriz a invertir tiene determinante no nulo.
Cálculo de operaciones auxiliares: Calcular sumas, restas, productos y la matriz inversa requerida.
Sustitución y cálculo final: Realizar el producto final y recuadrar la matriz solución.

📌 Ejemplo Concreto del Despeje con Factor Común e Identidad:

Despejar $X$ en la ecuación $A \cdot X - 3X = B$:

Reescribimos $3X$ como $(3I) \cdot X$ y extraemos factor común $X$ por la derecha:

A \cdot X - (3I) \cdot X = B \implies (A - 3I) \cdot X = B \implies X = (A - 3I)^{-1} \cdot B

La solución existe siempre que la matriz $A - 3I$ sea invertible ($|A - 3I| \neq 0$).

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Ecuación Lineal $AX + B = C$

Enunciado: Despejar y calcular la matriz $X$ en la ecuación $AX + B = C$, siendo:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

Paso 1: Despeje algebraico

$$AX = C - B \implies X = A^{-1}(C - B)$$

Paso 2: Operaciones auxiliares

$$C - B = \begin{pmatrix} 5-3 & 1-(-1) \\ 2-0 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

$$|A| = 1 \neq 0 \implies A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Paso 3: Multiplicación final

X = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(2)-2(2) & 1(2)-2(2) \\ 0(2)+1(2) & 0(2)+1(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

Conclusión: $\mathbf{X = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}}$.

Ejemplo 2: Factor Común y Matriz Identidad ($XA - 2X = B$)

Enunciado: Despejar $X$ en la ecuación matricial $XA - 2X = B$:

Paso 1: Reescribir con la matriz identidad

$$XA - X(2I) = B$$

Paso 2: Extraer factor común por la izquierda

$$X(A - 2I) = B$$

Paso 3: Despejar multiplicando por la derecha

Si $|A - 2I| \neq 0$, multiplicamos por $(A - 2I)^{-1}$ por la derecha:

X = B \cdot (A - 2I)^{-1}

Conclusión: La expresión general despejada es $\mathbf{X = B \cdot (A - 2I)^{-1}}$.

Ejemplo 3: Producto Bilateral $AXB = C$

Enunciado: Despejar $X$ en la ecuación $AXB = C$, donde $A$ y $B$ son matrices regulares:

Paso 1: Multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda

$$A^{-1}(AXB) = A^{-1}C \implies XB = A^{-1}C$$

Paso 2: Multiplicar por $B^{-1}$ por la derecha

$$(XB)B^{-1} = (A^{-1}C)B^{-1} \implies X = A^{-1}CB^{-1}$$

Conclusión: $\mathbf{X = A^{-1} C B^{-1}}$.

← Anterior 1.4.5 Inversa con parámetro Siguiente → 1.5.2 Sistemas matriciales