2.2.7 Vectores ortogonales y ortonormales
Condición analítica de ortogonalidad, conjuntos ortonormales y proceso de ortonormalización en el espacio euclídeo R3.
1. Definición de Ortogonalidad y Ortonormalidad
Dos vectores $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3$ son ortogonales (perpendiculares, $\vec{u} \perp \vec{v}$) si su producto escalar es nulo:
Un conjunto de vectores $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\}$ es ortonormal si son ortogonales dos a dos y además todos ellos son unitarios:
Consideremos los siguientes tres vectores en $\mathbb{R}^3$:
Comprobamos que son ortogonales dos a dos:
Y todos tienen módulo unitario: $|\vec{e}_1|=1$, $|\vec{e}_2|=\sqrt{1/2+1/2}=1$, $|\vec{e}_3|=1$. Por tanto, forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$.
2. Ejemplos Prácticos Resueltos
Enunciado: Halla un vector no nulo perpendicular a $\vec{u}=(1, 2, -3)$.
$$x + 2y - 3z = 0$$
Tomando $y=1, z=0 \implies x = -2$. El vector $\vec{v} = (-2, 1, 0)$ es ortogonal a $\vec{u}$.
Enunciado: Comprueba que $\vec{u}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ y $\vec{u}_2=\left(0, 0, 1\right)$ son ortonormales.
$$|\vec{u}_1| = \sqrt{1/2 + 1/2} = 1, \quad |\vec{u}_2| = 1$$
$$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0 + 0 + 0 = 0 \implies \text{Son ortonormales}$$
Enunciado: Normaliza $\vec{u}=(2, 2, 1)$ y un vector perpendicular a él.
$$|\vec{u}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3 \implies \vec{e}_1 = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$$