📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.2.8 Proyección de un vector sobre la dirección de otro

Proyección escalar y vector proyección de un vector sobre otro, fórmula mediante producto escalar e interpretación geométrica.

1. Proyección Escalar y Vector Proyección

Sea $\vec{u}$ un vector y $\vec{v} \neq \vec{0}$ un vector de referencia que marca una dirección en el espacio.

Proyección Escalar (Magnitud con Signo)

Es la medida algebraica de la "sombra" ortogonal de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$:

\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u}) = |\vec{u}| \cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}

Vector Proyección

Es el vector geométrico colineal con $\vec{v}$:

\vec{p}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v}

📌 Ejemplo Concreto de Proyección Escalar y Vector Proyección:

Dados $\vec{u} = (4, 1, -2)$ y la dirección marcada por $\vec{v} = (2, 2, 1)$:

\vec{u} \cdot \vec{v} = 4(2) + 1(2) + (-2)(1) = 8 + 2 - 2 = 8, \quad |\vec{v}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3

1) Proyección escalar (longitud de la sombra):

\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{8}{3} \approx 2.667

2) Vector proyección ortogonal:

\vec{p}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{8}{3^2} (2, 2, 1) = \frac{8}{9}(2, 2, 1) = \left( \frac{16}{9}, \; \frac{16}{9}, \; \frac{8}{9} \right)

Todo vector $\vec{u}$ puede descomponerse de forma unívoca en una componente paralela a $\vec{v}$ y otra perpendicular a $\vec{v}$:

\vec{u} = \vec{u}_{\parallel} + \vec{u}_{\perp} = \vec{p}_{\vec{v}}(\vec{u}) + \left(\vec{u} - \vec{p}_{\vec{v}}(\vec{u})\right)

📌 Ejemplo Concreto de Descomposición Ortogonal:

Descompongamos el vector $\vec{u} = (4, 1, -2)$ en su componente paralela y perpendicular respecto a $\vec{v} = (2, 2, 1)$:

\vec{u}_\parallel = \vec{p}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \left( \frac{16}{9}, \; \frac{16}{9}, \; \frac{8}{9} \right)

\vec{u}_\perp = \vec{u} - \vec{u}_\parallel = (4, 1, -2) - \left( \frac{16}{9}, \; \frac{16}{9}, \; \frac{8}{9} \right) = \left( \frac{20}{9}, \; -\frac{7}{9}, \; -\frac{26}{9} \right)

Comprobación de ortogonalidad: $\vec{u}_\perp \cdot \vec{v} = \frac{20}{9}(2) - \frac{7}{9}(2) - \frac{26}{9}(1) = \frac{40 - 14 - 26}{9} = 0$.

Ejemplo 1: Proyección Escalar

Enunciado: Calcula la proyección de $\vec{u}=(2, 3, -1)$ sobre $\vec{v}=(3, 0, 4)$.

Paso 1: Producto escalar y módulo

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - 4 = 2, \quad |\vec{v}|=5$$

$$\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{2}{5} = 0.4$$

Ejemplo 2: Vector Proyección

Enunciado: Calcula el vector proyección del ejemplo anterior.

Paso 1: Fórmula del vector proyección

$$\vec{p}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{2}{25}(3, 0, 4) = \left(\frac{6}{25}, \; 0, \; \frac{8}{25}\right)$$

Ejemplo 3: Componente Perpendicular

Enunciado: Halla la componente de $\vec{u}$ perpendicular a $\vec{v}$.

Paso 1: Resta vectorial

$$\vec{u}_{\perp} = (2, 3, -1) - \left(\frac{6}{25}, 0, \frac{8}{25}\right) = \left(\frac{44}{25}, \; 3, \; -\frac{33}{25}\right)$$