📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

2.3.1 Producto vectorial de dos vectores

Definición geométrica y analítica del producto vectorial en R3 mediante determinantes simbólicos con la base canónica.

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1. Concepto y Definición Geométrica

A diferencia del producto escalar (que produce un número), el producto vectorial de dos vectores libres $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de $\mathbb{R}^3$ es un nuevo vector $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ definido por:

Módulo: $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin(\alpha)$, donde $\alpha \in [0, \pi]$.
Dirección: Perpendicular común a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ (ortogonal al plano que forman).
Sentido: Determinado por la regla de la mano derecha o del sacacorchos.

📌 Ejemplo Concreto de Definición Geométrica:

Consideremos dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con $|\vec{u}| = 4$, $|\vec{v}| = 5$ formando un ángulo $\alpha = 30^\circ$:

|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 10

El vector resultante tiene un módulo de 10 unidades y su dirección es ortogonal al plano que forman $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

2. Expresión Analítica mediante Determinante Formal

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \; -\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}, \; \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)

📌 Ejemplo Concreto de Determinante Formal:

Calculemos $\vec{u} \times \vec{v}$ para $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (1, 4, -2)$ desarrollando por la primera fila:

\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = (2 - 12)\vec{i} - (-4 - 3)\vec{j} + (8 - (-1))\vec{k}

\vec{u} \times \vec{v} = -10\vec{i} + 7\vec{j} + 9\vec{k} = (-10, \, 7, \, 9)

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Cálculo Directo por Determinantes

Enunciado: Calcula $\vec{u} \times \vec{v}$ para $\vec{u}=(1, 2, 3)$ y $\vec{v}=(4, 5, 6)$.

Paso 1: Desarrollo de adjuntos

$$\vec{u} \times \vec{v} = (12 - 15)\vec{i} - (6 - 12)\vec{j} + (5 - 8)\vec{k} = (-3, 6, -3)$$

Ejemplo 2: Ortogonalidad del Resultado

Enunciado: Comprueba que $\vec{w}=(-3, 6, -3)$ es ortogonal a $\vec{u}=(1, 2, 3)$.

Paso 1: Producto escalar de verificación

$$\vec{w} \cdot \vec{u} = -3(1) + 6(2) - 3(3) = -3 + 12 - 9 = 0$$

Ejemplo 3: Vectores Paralelos

Enunciado: Calcula el producto vectorial de dos vectores proporcionales.

Paso 1: Resultado nulo

$$\vec{u} \times (k\vec{u}) = \vec{0}$$

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