Dominio de una función (Potenciales exponenciales)

1. Funciones Potenciales-Exponenciales

Una función potencial-exponencial presenta la variable independiente tanto en la base como en el exponente:

\[ f(x) = [u(x)]^{v(x)} \]

Para que la potencia con exponente real variable esté unívocamente definida en el cuerpo de los números reales, se transforma mediante la identidad exponencial-logarítmica:

\[ [u(x)]^{v(x)} = e^{v(x) \ln(u(x))} \]

Base estrictamente positiva: Debe exigirse obligatoriamente que \( u(x) > 0 \) para que exista el logaritmo neperiano \( \ln(u(x)) \).

Dominio del exponente: Se intersecta con las restricciones propias de \( v(x) \): \[ \text{Dom}(f) = \{ x \in \text{Dom}(u) \cap \text{Dom}(v) \mid u(x) > 0 \} \]

📌 Ejemplo Concreto de Función Potencial-Exponencial:

Hallemos el dominio de \( f(x) = (x - 2)^{\frac{1}{x - 5}} \):

Convertimos la expresión a base exponencial natural: \( f(x) = e^{\frac{1}{x - 5} \ln(x - 2)} \). Exigimos dos condiciones:

\begin{cases} \text{Base positiva:} & x - 2 > 0 \implies x > 2 \\ \text{Denominador no nulo:} & x - 5 eq 0 \implies x eq 5 \end{cases}

Intersectando ambas condiciones obtenemos el dominio exacto:

\text{Dom}(f) = (2, 5) \cup (5, +\infty)

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Potencia exponencial pura

Calcular el dominio de \( f(x) = x^x \).

Escribimos \( f(x) = e^{x \ln x} \). Como el logaritmo exige argumento positivo, \( \text{Dom}(f) = (0, +\infty) \).

Ejemplo 2: Base polinómica compuesta

\( f(x) = (x-3)^{\frac{1}{x-5}} \implies x - 3 > 0 \) y \( x - 5 \neq 0 \).

Dominio: \( (3, +\infty) \setminus \{5\} = (3, 5) \cup (5, +\infty) \).

Ejemplo 3: Base cuadrática

\( f(x) = (4 - x^2)^x \implies 4 - x^2 > 0 \implies (-2, 2) \). Dominio: \( (-2, 2) \).