Dominio de una función (arcosenos o arcocosenos)

1. Funciones Trigonométricas Inversas

Dado que el seno y el coseno reales solo toman valores en el intervalo cerrado \( [-1, 1] \), sus funciones recíprocas \( f(x) = \arcsin(g(x)) \) y \( f(x) = \arccos(g(x)) \) exigen estrictamente que su argumento esté acotado entre \( -1 \) y \( 1 \):

\[ -1 \le g(x) \le 1 \iff |g(x)| \le 1 \]

Se plantea el sistema de dos inecuaciones simultáneas: \[ \begin{cases} g(x) \ge -1 \\ g(x) \le 1 \end{cases} \]

El dominio final es la intersección de las soluciones de ambas inecuaciones.

📌 Ejemplo Concreto de Dominio de Arcoseno:

Calculemos el dominio de la función \( f(x) = \arcsin\left(\frac{x - 3}{2}\right) \):

Exigimos la acotación trigonométrica del argumento entre \(-1\) y \(1\):

-1 \le \frac{x - 3}{2} \le 1

Multiplicamos por \(2\) y sumamos \(3\) en toda la desigualdad doble:

-2 \le x - 3 \le 2 \implies 1 \le x \le 5 \implies \text{Dom}(f) = [1, 5]

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Arcoseno de binomio lineal

Calcular el dominio de \( f(x) = \arcsin(2x - 1) \).

\[ -1 \le 2x - 1 \le 1 \implies 0 \le 2x \le 2 \implies 0 \le x \le 1 \] \[ \text{Dom}(f) = [0, 1] \]

Ejemplo 2: Arcocoseno de fracción

\( f(x) = \arccos\left(\frac{x}{3}\right) \implies -1 \le \frac{x}{3} \le 1 \implies -3 \le x \le 3 \implies \text{Dom}(f) = [-3, 3] \).

Ejemplo 3: Arcotangente (contraste)

A diferencia del arcoseno, \( \arctan(x) \) está definida para todo \( \mathbb{R} \), luego \( \text{Dom}(\arctan(g(x))) = \text{Dom}(g) \).