1. Funciones Logarítmicas
Dada una función logarítmica \( f(x) = \log_a(g(x)) \) con base \( a > 0, a \neq 1 \):
El logaritmo solo está definido para números estrictamente positivos (el logaritmo de cero y de números negativos no existe en \( \mathbb{R} \)).
\[ \text{Dom}(\log_a(g(x))) = \{ x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) > 0 \} \]Hallemos el dominio de la función \( f(x) = \ln(x^2 - 5x + 4) \):
El argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo:
Analizando el signo del producto en la recta real, la parábola abre hacia arriba y es positiva fuera de sus raíces:
2. Ejemplos Prácticos
\( f(x) = \ln(2x - 6) \implies 2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3 \).
\[ \text{Dom}(f) = (3, +\infty) \]\( f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-4}\right) \implies \frac{x+1}{x-4} > 0 \).
La fracción es positiva cuando numerador y denominador tienen el mismo signo: \( (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \).
\( f(x) = \ln|x-2| \). Como \( |x-2| \ge 0 \), solo falla cuando se anula: \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \implies \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).