Dominio de una función (raíces pares)

1. Funciones Radicales

Dada una función radical \( f(x) = \sqrt[n]{g(x)} \):

Índice impar (\( n \) impar): Las raíces de orden impar están definidas para cualquier número real (positivo, negativo o cero). Por tanto: \[ \text{Dom}(\sqrt[n]{g(x)}) = \text{Dom}(g) \]

Índice par (\( n \) par): En \( \mathbb{R} \) no existen raíces de números negativos. Se exige que el radicando sea mayor o igual que cero: \[ \text{Dom}(\sqrt[n]{g(x)}) = \{ x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) \ge 0 \} \]

📌 Ejemplo Concreto de Dominio de Raíz Cuadrada:

Determinemos el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{16 - x^2} \):

Exigimos que el radicando sea no negativo por tratarse de índice par (\(n = 2\)):

16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies |x| \le 4

Expresado en forma de intervalo acotado:

\text{Dom}(f) = [-4, 4]

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Raíz cuadrada con inecuación de segundo grado

Hallar el dominio de \( f(x) = \sqrt{x^2 - 9} \).

Exigimos \( x^2 - 9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0 \).

Estudiando los signos en los intervalos \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \) y \( (3, +\infty) \), el producto es positivo en los extremos.

\[ \text{Dom}(f) = (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \]

Ejemplo 2: Raíz cuadrada de radicando fraccionario

\( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \implies \frac{x-1}{x+2} \ge 0 \) con \( x+2 \neq 0 \).

Dominio: \( (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) \) (el \( -2 \) abierto por anular denominador).

Ejemplo 3: Raíz cúbica

Para \( f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 5x} \), como el índice es 3 (impar), \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \).