Dominio de una función (cocientes)

1. Funciones Racionales y Cocientes

Dada una función cociente \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), la división por cero no está definida en el cuerpo de los números reales. Por lo tanto, el dominio está formado por todos los reales excepto las raíces del denominador:

\[ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ x \in \mathbb{R} \mid Q(x) = 0 \} \]

Se resuelve la ecuación \( Q(x) = 0 \) para identificar todos los puntos de discontinuidad o asíntotas potenciales.

Si el numerador presenta restricciones adicionales (como raíces o logaritmos), se intersecta su dominio con \( Q(x) \neq 0 \).

📌 Ejemplo Concreto de Dominio con Cocientes:

Hallemos el dominio de la función racional \( f(x) = \frac{3x - 1}{x^3 - 4x} \):

Igualamos a cero el denominador y factorizamos sacando factor común y diferencia de cuadrados:

x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0

Las raíces que anulan el denominador son \( x = 0 \), \( x = 2 \) y \( x = -2 \). Por tanto:

\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\}

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Denominador de segundo grado con dos raíces

Calcular el dominio de \( f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 5x + 6} \).

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2, \; x = 3 \).

\[ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\} = (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty) \]

Ejemplo 2: Denominador sin raíces reales

\( f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4} \). Como \( x^2 + 4 > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \), no hay ceros en el denominador: \( \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \).

Ejemplo 3: Denominador con raíz triple

\( f(x) = \frac{2x}{(x-1)^3} \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \implies \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).