Dominio de una función (Definición)

1. Definición de Dominio o Campo de Existencia

El dominio de definición de una función real \( f \), denotado por \( \text{Dom}(f) \), es el conjunto de todos los números reales \( x \) para los cuales la expresión \( f(x) \) tiene sentido matemático y produce un número real bien determinado:

\[ \text{Dom}(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in \mathbb{R} \} \]

Polinomios: \( \text{Dom}(P(x)) = \mathbb{R} \). Están definidos para cualquier número real.

Restricciones analíticas básicas: Denominadores no nulos (\( \neq 0 \)), radicandos de orden par no negativos (\( \ge 0 \)), argumentos de logaritmos estrictamente positivos (\( > 0 \)).

📌 Ejemplo Concreto de Identificación de Dominio:

Identifiquemos el dominio de definición de la función polinómica racional \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1} \):

x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 \quad (\text{sin solución real})

Como el denominador nunca se anula para ningún número real, no existe ninguna restricción de existencia:

\text{Dom}(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

2. Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Función polinómica

\( f(x) = 3x^5 - 2x^2 + 7 \implies \text{Dom}(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) \).

Ejemplo 2: Función con restricción simple de denominador

\( f(x) = \frac{1}{x-5} \implies x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5 \implies \text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{5\} \).

Ejemplo 3: Dominio en contexto práctico

Si \( A(x) = x(10-x) \) modela el área de un rectángulo de perímetro fijo, \( x \) debe ser una longitud positiva con \( 10-x > 0 \), por lo que \( \text{Dom}(A) = (0, 10) \).