La distribución Normal o Gaussiana, denotada por $N(\mu, \sigma)$, es la distribución continua más trascendente de la ciencia y la estadística, descrita gráficamente por la célebre Campana de Gauss.
Función de densidad normal
Una variable $X \sim N(\mu, \sigma)$ con media $\mu \in \mathbb{R}$ y desviación típica $\sigma > 0$ tiene por función de densidad:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$Propiedades geométricas fundamentales
- Simetría absoluta: La curva es estrictamente simétrica respecto a la recta vertical $x = \mu$. En dicho eje coinciden media, mediana y moda.
- Máximo absoluto: Se alcanza en la media $x = \mu$, con valor de ordenada $f(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$.
- Puntos de inflexión: La curvatura cambia de cóncava a convexa en $x = \mu - \sigma$ y en $x = \mu + \sigma$.
- Asíntota horizontal: El eje de abscisas $y = 0$ es asíntota bilateral cuando $x \to \pm\infty$.
- Área total: El área encerrada bajo toda la campana es exactamente igual a $1$.
Regla empírica o regla 68-95-99.7
- En $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$ queda encerrado el $68.27\%$ de la masa total.
- En $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$ se concentra el $95.45\%$.
- En $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ se encuentra el $99.73\%$ de todas las observaciones.
Tipificación de la variable ($Z$)
Dado que la integral de $f(x)$ carece de primitiva elemental en términos de funciones algebraicas estándar, se realiza una transformación de cambio de escala y traslación denominada tipificación, reduciendo cualquier variable general a la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$Esta variable $Z$ tiene media cero $\mu_Z = 0$ y varianza unitaria $\sigma_Z = 1$.
Las calificaciones de un examen siguen una distribución normal $X \sim N(\mu = 100, \sigma = 15)$.
Para determinar la probabilidad de que un alumno obtenga una puntuación menor o igual a $130$, tipificamos la variable a la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$:
Ejemplos Canónicos Desarrollados
La estatura de los adultos de una ciudad sigue una distribución $N(172, 10)$ en centímetros. Halla la proporción de personas que miden más de $185\text{ cm}$.
Resolución paso a paso:
1) Tipificamos la variable $X$ definiendo $Z = \frac{X - 172}{10}$:
$$X = 185 \implies Z = \frac{185 - 172}{10} = \frac{13}{10} = 1.3$$2) Expresamos la probabilidad en términos de $Z$:
$$P(X > 185) = P(Z > 1.3) = 1 - P(Z \le 1.3) = 1 - \Phi(1.3)$$3) Consultando el valor de la normal estándar $\Phi(1.30) = 0.9032$:
$$P(X > 185) = 1 - 0.9032 = 0.0968 \quad (9.68\%)$$Sea $X \sim N(50, 6)$. Calcula la probabilidad de que $X$ sea inferior a $41$.
Resolución paso a paso:
1) Tipificamos la cota $x = 41$:
$$Z = \frac{41 - 50}{6} = \frac{-9}{6} = -1.5$$2) Por simetría de la campana de Gauss respecto al origen en $N(0, 1)$:
$$P(Z \le -1.5) = P(Z \ge 1.5) = 1 - P(Z \le 1.5) = 1 - \Phi(1.50)$$3) Buscando $\Phi(1.50) = 0.9332$:
$$P(X < 41) = 1 - 0.9332 = 0.0668 \quad (6.68\%)$$El peso de un producto sigue una distribución normal con media $\mu = 250\text{ g}$. Si el $10\%$ de los productos pesa más de $260\text{ g}$, calcula la desviación típica $\sigma$.
Resolución paso a paso:
1) La condición es $P(X > 260) = 0.10$, lo que equivale a $P(X \le 260) = 0.90$.
2) En la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, buscamos el valor crítico $z$ tal que $\Phi(z) = 0.90$:
$$\Phi(1.28) = 0.8997, \quad \Phi(1.29) = 0.9015 \implies z \approx 1.282$$3) Igualamos con la fórmula de tipificación:
$$z = \frac{x - \mu}{\sigma} \implies 1.282 = \frac{260 - 250}{\sigma} = \frac{10}{\sigma}$$ $$\sigma = \frac{10}{1.282} \approx 7.80\text{ g}$$