La tabla de la distribución normal estándar tabula los valores de la función de distribución acumulada $\Phi(z) = P(Z \le z)$ para una variable $Z \sim N(0, 1)$ con pasos de centésimas (desde $0.00$ hasta $3.99$).
Reglas universales para el manejo de la tabla
Cualquier cálculo probabilístico sobre $Z \sim N(0, 1)$ se descompone en una de las cuatro situaciones estándar:
- Probabilidad de cola izquierda con cota positiva ($z > 0$): $$P(Z \le z) = \Phi(z) \quad \text{(Lectura directa en tabla)}$$
- Probabilidad de cola derecha con cota positiva ($z > 0$): $$P(Z > z) = 1 - P(Z \le z) = 1 - \Phi(z)$$
- Probabilidad con cota negativa (simetría de la campana): Como la campana es simétrica respecto al cero: $$P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z)$$ $$P(Z > -z) = P(Z < z) = \Phi(z)$$
- Probabilidad comprendida en un intervalo $[a, b]$: $$P(a \le Z \le b) = \Phi(b) - \Phi(a)$$
Búsqueda inversa (cálculo de valores críticos $z_\alpha$)
Cuando el dato de entrada es la probabilidad $p$ y se busca la abscisa $z$ tal que $\Phi(z) = p$:
- Si $p > 0.5$: Se busca el valor más próximo a $p$ en el cuerpo numérico interior de la tabla y se leen fila y columna.
- Si $p < 0.5$: Por simetría, se busca $1 - p$ en la tabla, obteniendo el valor positivo $z'$, y la solución requerida es su opuesto simétrico: $z = -z'$.
Para una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, calculemos la probabilidad $P(Z \le -1.24)$ y el intervalo bilateral $P(-1.24 \le Z \le 1.24)$:
Ejemplos Canónicos Desarrollados
Utilizando la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$, calcula: a) $P(Z \le 1.84)$, b) $P(Z > 1.84)$, c) $P(Z < -1.84)$, d) $P(-1.84 \le Z \le 1.84)$.
Resolución paso a paso:
Consultamos en la tabla $\Phi(1.84)$ (fila 1.8 y columna 0.04): $\Phi(1.84) = 0.9671$.
- a) $P(Z \le 1.84) = \Phi(1.84) = 0.9671$
- b) $P(Z > 1.84) = 1 - \Phi(1.84) = 1 - 0.9671 = 0.0329$
- c) Por simetría: $P(Z < -1.84) = 1 - \Phi(1.84) = 0.0329$
- d) Para el intervalo simétrico: $$P(-1.84 \le Z \le 1.84) = \Phi(1.84) - \Phi(-1.84) = 0.9671 - (1 - 0.9671) = 2(0.9671) - 1 = 0.9342$$
Halla el valor exacto de $z_\alpha$ tal que $P(Z \le z_\alpha) = 0.975$ y $P(Z \le z_\beta) = 0.990$.
Resolución paso a paso:
1) Para $0.9750$:
Buscando en la tabla en la fila $1.9$ y columna $0.06$, encontramos el valor exacto $0.9750$. Por tanto:
$$z_\alpha = 1.96$$2) Para $0.9900$:
Buscando en la fila $2.3$:
$$\Phi(2.32) = 0.9898, \quad \Phi(2.33) = 0.9901$$Por interpolación lineal equidistante:
$$z_\beta \approx 2.326 \quad (\text{o } 2.33)$$Calcula la probabilidad acumulada entre dos cotas negativas: $P(-2.15 \le Z \le -0.45)$.
Resolución paso a paso:
Aplicamos la propiedad de sustracción de la función de distribución:
$$P(-2.15 \le Z \le -0.45) = \Phi(-0.45) - \Phi(-2.15)$$Transformamos cada término a cotas positivas mediante $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$:
$$\Phi(-0.45) = 1 - \Phi(0.45) = 1 - 0.6736 = 0.3264$$ $$\Phi(-2.15) = 1 - \Phi(2.15) = 1 - 0.9842 = 0.0158$$Restamos los valores acumulados:
$$P(-2.15 \le Z \le -0.45) = 0.3264 - 0.0158 = 0.3106$$