Bloque 4: Probabilidad y Estadística

4.3.7 Aproximación de la binomial por la normal

Teorema de De Moivre-Laplace, condiciones de validez np >= 5 y nq >= 5, corrección de continuidad o de Yates y cálculo práctico de probabilidades.

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El Teorema de De Moivre-Laplace (caso particular del Teorema Central del Límite) demuestra que cuando el número de repeticiones $n$ de un proceso binomial es suficientemente elevado, la distribución discreta $B(n, p)$ converge a una distribución continua normal con su misma media y varianza.

Condiciones de aplicabilidad

La aproximación normal proporciona una precisión matemática rigurosa cuando se satisfacen conjuntamente los siguientes criterios:

  1. $n$ es suficientemente grande (habitualmente $n \ge 30$).
  2. $n \cdot p \ge 5$
  3. $n \cdot q = n(1 - p) \ge 5$

Bajo estas condiciones:

$$X \sim B(n, p) \quad \xrightarrow{\text{aprox.}} \quad X' \sim N(\mu, \sigma) = N(n p, \sqrt{n p q})$$

Corrección de continuidad o de Yates

Dado que aproximamos una variable discreta (cuyas probabilidades están concentradas en puntos enteros aislados $k$) mediante una variable continua (donde la probabilidad puntual es nula, $P(X' = k) = 0$), es imprescindible aplicar la corrección por continuidad, expandiendo cada punto $k$ en el intervalo $[k - 0.5, k + 0.5]$:

  • Probabilidad puntual: $P(X = k) \approx P(k - 0.5 \le X' \le k + 0.5)$
  • Menor o igual ($\le$): $P(X \le k) \approx P(X' \le k + 0.5)$
  • Estrictamente menor ($<$): $P(X < k) = P(X \le k - 1) \approx P(X' \le k - 0.5)$
  • Mayor o igual ($\ge$): $P(X \ge k) \approx P(X' \ge k - 0.5)$
  • Estrictamente mayor ($>$): $P(X > k) = P(X \ge k + 1) \approx P(X' \ge k + 0.5)$
  • Intervalo: $P(a \le X \le b) \approx P(a - 0.5 \le X' \le b + 0.5)$
📌 Ejemplo Concreto de Aproximación Normal con Corrección de Yates:

Sea $X \sim B(100, 0.4)$. Verificamos las condiciones: $n = 100 \ge 30$, $np = 40 \ge 5$, $nq = 60 \ge 5$.

Aproximamos por $Y \sim N(\mu = 40, \sigma = \sqrt{100 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.90)$. Para calcular $P(X \ge 45)$ aplicamos la corrección de continuidad restando $0.5$:

$$P(X \ge 45) \approx P(Y \ge 44.5) = P\left(Z \ge \frac{44.5 - 40}{4.90} ight) = P(Z \ge 0.92) = 1 - \Phi(0.92) = 1 - 0.8212 = 0.1788 \quad (17.88\%)$$

Ejemplos Canónicos Desarrollados

Ejemplo 1 Lanzamiento multitudinario de monedas y número de caras

Se lanza una moneda equilibrada $100$ veces. Calcula la probabilidad de obtener entre $45$ y $55$ caras (ambos incluidos).

Resolución paso a paso:

1) Modelizamos como variable Binomial:

$$X = \text{número de caras} \sim B(100, 0.5)$$

2) Comprobamos las condiciones de De Moivre-Laplace:

$$n = 100 \ge 30, \quad n p = 100(0.5) = 50 \ge 5, \quad n q = 100(0.5) = 50 \ge 5$$

Parámetros de la normal equivalente $X'$:

$$\mu = n p = 50, \quad \sigma = \sqrt{n p q} = \sqrt{100 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5$$ $$X' \sim N(50, 5)$$

3) Aplicamos la corrección de continuidad de Yates:

$$P(45 \le X \le 55) \approx P(44.5 \le X' \le 55.5)$$

4) Tipificamos los extremos:

$$Z_1 = \frac{44.5 - 50}{5} = \frac{-5.5}{5} = -1.10$$ $$Z_2 = \frac{55.5 - 50}{5} = \frac{5.5}{5} = +1.10$$

5) Calculamos con la tabla $N(0, 1)$:

$$P(-1.10 \le Z \le 1.10) = 2\Phi(1.10) - 1 = 2(0.8643) - 1 = 1.7286 - 1 = 0.7286$$
Ejemplo 2 Control de pasajeros y sobreventa de billetes de avión

Una aerolínea vende $200$ billetes para un vuelo con $192$ plazas disponibles. La probabilidad de que un pasajero no se presente es del $10\%$. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún pasajero se quede en tierra por falta de plazas?

Resolución paso a paso:

1) Sea $X$ el número de pasajeros que se presentan al vuelo:

$$n = 200, \quad p = 0.90, \quad q = 0.10 \implies X \sim B(200, 0.9)$$

Condiciones: $n p = 180 \ge 5$, $n q = 20 \ge 5$. Aproximable por:

$$\mu = 180, \quad \sigma = \sqrt{200 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{18} \approx 4.2426$$ $$X' \sim N(180, 4.2426)$$

2) Nadie se queda en tierra si se presentan $192$ o menos pasajeros: $P(X \le 192)$.

3) Aplicamos la corrección de continuidad:

$$P(X \le 192) \approx P(X' \le 192.5)$$

4) Tipificamos:

$$Z = \frac{192.5 - 180}{4.2426} = \frac{12.5}{4.2426} \approx 2.95$$

5) Buscamos en la tabla:

$$P(Z \le 2.95) = \Phi(2.95) = 0.9984$$

La probabilidad de que todos puedan embarcar es del $99.84\%$.

Ejemplo 3 Probabilidad de una cota estricta en sondeos electorales

En una población el $40\%$ apoya una propuesta. Se encuesta a $150$ personas. Halla la probabilidad de que más de $70$ personas la apoyen.

Resolución paso a paso:

1) Binomial original: $X \sim B(150, 0.4)$.

$$n p = 150 \times 0.4 = 60 \ge 5, \quad n q = 150 \times 0.6 = 90 \ge 5$$ $$\mu = 60, \quad \sigma = \sqrt{150 \times 0.4 \times 0.6} = \sqrt{36} = 6 \implies X' \sim N(60, 6)$$

2) Condición estricta: $P(X > 70) = P(X \ge 71)$.

3) Con corrección de continuidad:

$$P(X > 70) \approx P(X' \ge 70.5)$$

4) Tipificamos:

$$Z = \frac{70.5 - 60}{6} = \frac{10.5}{6} = 1.75$$ $$P(Z \ge 1.75) = 1 - \Phi(1.75) = 1 - 0.9599 = 0.0401 \quad (4.01\%)$$