Introducción y la Ecuación de Schrödinger

Por qué la física clásica no basta

La mecánica clásica describe correctamente el movimiento de objetos macroscópicos, pero a finales del siglo XIX aparecieron fenómenos que era incapaz de explicar.

El primero fue la radiación del cuerpo negro: la teoría clásica predecía que un cuerpo caliente debía emitir una cantidad infinita de energía en forma de radiación ultravioleta, lo que se conoce como catástrofe ultravioleta.

Sin embargo, los experimentos mostraban un máximo de emisión a una longitud de onda finita.

Para resolverlo, Planck tuvo que suponer que la energía no se emite de forma continua, sino en paquetes discretos llamados cuantos, de energía

$$E = h\nu $$

donde $h $ es la constante de Planck y $\nu $ la frecuencia de la radiación.

El segundo fenómeno fue el efecto fotoeléctrico: al iluminar un metal con luz, se emiten electrones, pero sólo si la frecuencia de la luz supera un umbral, por muy intensa que sea la luz.

La física clásica, que trataba la luz como una onda continua, no podía explicar por qué la intensidad no importaba y la frecuencia sí.

Einstein lo explicó suponiendo que la luz está formada por partículas, los fotones, cada uno con energía $E = h\nu $

El tercer fenómeno fue la estabilidad del átomo.

Según la electrodinámica clásica, un electrón girando alrededor del núcleo debería radiar energía continuamente y caer al núcleo en una fracción de segundo.

Sin embargo, los átomos son estables.

Además, los espectros atómicos muestran líneas discretas, no un continuo.

Estos tres fallos demostraron que en la escala atómica se necesita una mecánica nueva: la mecánica cuántica.

La función de onda y su interpretación

En mecánica cuántica, el estado de una partícula no se describe dando su posición y su velocidad en cada instante, como en la física clásica, sino mediante una función matemática llamada función de onda, que denotamos con la letra griega psi:

$$\Psi(x, t) $$

para una partícula que se mueve en una dimensión, donde $x $ es la posición y $t $ el tiempo.

La función de onda en sí misma no tiene un significado físico directo, porque en general es un número complejo.

Su significado lo descubrió Max Born: el cuadrado del módulo de la función de onda,

$$|\Psi(x, t)|^2 $$

representa la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en la posición $x $ en el instante $t $. Esto significa que la probabilidad de encontrar a la partícula entre $x $ y $x + dx $ es

$$P = |\Psi(x, t)|^2\, dx $$

Puesto que la partícula tiene que estar en algún lugar con probabilidad total igual a uno, la función de onda debe cumplir la condición de normalización:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x, t)|^2\, dx = 1 $$

Esta condición no es un capricho matemático: expresa el hecho físico de que la probabilidad total de encontrar a la partícula en todo el espacio debe ser del cien por cien.

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

La función de onda evoluciona en el tiempo según una ecuación diferencial que juega en mecánica cuántica el mismo papel que la segunda ley de Newton en mecánica clásica: la ecuación de Schrödinger.

Para una partícula de masa $m $ que se mueve en una dimensión bajo un potencial $V(x) $, la ecuación es

$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x)\Psi $$

Justifiquemos cada término.

A la izquierda aparece la derivada temporal de la función de onda multiplicada por $i\hbar $, donde $i $ es la unidad imaginaria y $\hbar $ es la constante de Planck dividida por $2\pi $. Este término describe cómo cambia el estado cuántico con el tiempo.

A la derecha, el primer término contiene la derivada segunda espacial.

En mecánica clásica, la energía cinética es $p^2/2m $, donde $p $ es el momento lineal.

En mecánica cuántica, el momento lineal se representa mediante el operador diferencial $-i\hbar\,\partial/\partial x $. Al aplicar este operador dos veces obtenemos $-\hbar^2\,\partial^2/\partial x^2 $, y dividiendo por $2m $ llegamos exactamente al primer término de la derecha.

Por tanto, este término representa la energía cinética de la partícula en lenguaje cuántico.

El segundo término, $V(x)\Psi $, representa la energía potencial: es simplemente el potencial clásico $V(x) $ multiplicado por la función de onda.

La ecuación independiente del tiempo

En muchos problemas el potencial no depende del tiempo, es decir, $V = V(x) $. En ese caso podemos buscar soluciones en las que la dependencia temporal y la espacial están separadas como un producto:

$$\Psi(x, t) = \psi(x)\, e^{-iEt/\hbar} $$

donde $E $ es una constante (que resultará ser la energía) y $\psi(x) $ sólo depende de la posición.

Sustituimos esta forma en la ecuación dependiente del tiempo.

La derivada temporal da

$$\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \psi(x)\,\left(-\frac{iE}{\hbar}\right)e^{-iEt/\hbar} $$

y al multiplicar por $i\hbar $ obtenemos $E\,\psi(x)\,e^{-iEt/\hbar} $. Las derivadas espaciales sólo actúan sobre $\psi(x) $. Dividiendo toda la ecuación por el factor temporal $e^{-iEt/\hbar} $, que nunca se anula, llegamos a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) $$

Esta es una ecuación de autovalores: las funciones $\psi(x) $ que la satisfacen junto con las condiciones de contorno del problema son las funciones propias, y los valores de $E $ para los que existe solución son los autovalores de la energía, es decir, los valores permitidos de la energía.

Que la energía esté cuantizada no se postula: surge de exigir que la función de onda sea físicamente aceptable.

📝 Ejemplo 1: Comprobación de la normalización para una función sencilla

Consideremos la función $$\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\,\sen\left(\frac{\pi x}{L}\right) $$ definida entre $x = 0 $ y $x = L $, y nula fuera.

Comprobemos que está normalizada calculando

$$\int_0^L |\psi(x)|^2\, dx = \int_0^L \frac{2}{L}\sen^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx $$

Usamos la identidad $\sen^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} $:

$$\int_0^L \frac{2}{L}\cdot\frac{1 - \cos(2\pi x/L)}{2}\, dx = \frac{1}{L}\int_0^L \left[1 - \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right] dx $$

Integramos término a término.

La integral de 1 entre 0 y L es L.

La integral del coseno es

$$\int_0^L \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) dx = \left[\frac{L}{2\pi}\sen\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right]_0^L = \frac{L}{2\pi}(\sen 2\pi - \sen 0) = 0 $$

porque el seno se anula en múltiplos enteros de $\pi $. Por tanto

$$\frac{1}{L}(L - 0) = 1 $$

La función está correctamente normalizada: la probabilidad total es uno.