Dualidad onda-corpúsculo y De Broglie

La hipótesis de De Broglie

En mil novecientos veinticuatro, Louis de Broglie propuso una simetría fundamental en la naturaleza.

Si las ondas electromagnéticas presentan propiedades corpusculares asociadas a los fotones, como demostraron el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton, las partículas materiales como los electrones también deben presentar propiedades ondulatorias.

Toda partícula material en movimiento lleva asociada una onda de materia cuya longitud de onda, denominada longitud de onda de De Broglie, viene dada por el cociente entre la constante de Planck y su momento lineal:

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\cdot v} $$

En esta relación, $$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} $$ representa la constante de Planck, $m $ es la masa del cuerpo en kilogramos, y $v $ es su velocidad en metros por segundo.

El producto $p = m\cdot v $ constituye el momento lineal de la partícula.

Esta propuesta ofreció una explicación física directa para la cuantización del momento angular en el modelo atómico de Bohr.

De acuerdo con De Broglie, las órbitas electrónicas estables representan ondas estacionarias cerradas sobre sí mismas en torno al núcleo atómico:

$$2\pi r_n = n\cdot\lambda $$

Al sustituir la longitud de onda de De Broglie en la condición de onda estacionaria se obtiene:

$$2\pi r_n = n\cdot \frac{h}{m_e\cdot v} \implies m_e\cdot v\cdot r_n = n\cdot \frac{h}{2\pi} = n\cdot \hbar $$

Esta igualdad recupera de forma natural la condición de cuantización de Bohr.

Si la longitud de la circunferencia no fuera un múltiplo entero exacto de la longitud de onda, la onda interferiría destructivamente consigo misma tras sucesivas revoluciones y desaparecería.

La confirmación experimental de la hipótesis de De Broglie llegó en mil novecientos veintisiete con los experimentos de Davisson y Germer en Estados Unidos, y de George Paget Thomson en el Reino Unido.

Al dirigir un haz de electrones contra una red cristalina de níquel, observaron patrones de difracción idénticos a los producidos por los rayos $X $, demostrando experimentalmente la naturaleza ondulatoria de los electrones.

ð Ejemplo: un electrón que se mueve a $1{,}00 \times 10^6\text{ m/s} $ lleva asociada:

$$\lambda = \frac{h}{m_e \cdot v} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{9{,}11 \times 10^{-31} \times 1{,}00 \times 10^6} = 7{,}27 \times 10^{-10}\text{ m} = 0{,}727\text{ nm} $$

una longitud de onda comparable a las distancias interatómicas, por eso los electrones se difractan en los cristales.

2. ¿Por qué no vemos la dualidad en la vida diaria?

La dualidad onda-corpúsculo no es una propiedad exclusiva de los electrones, sino un principio universal aplicable a cualquier cuerpo material del universo.

Sin embargo, en el mundo macroscópico los efectos ondulatorios resultan absolutamente indetectables.

La causa radica en la magnitud infinitesimal de la constante de Planck.

Al dividir $h $ entre una masa macroscópica de varios gramos o kilogramos, la longitud de onda de De Broglie resultante es del orden de:

$$\lambda \sim 10^{-34}\text{ m} \text{ a } 10^{-36}\text{ m} $$

Para que se produzcan fenómenos apreciables de difracción o interferencia, la longitud de onda debe ser de un orden de magnitud comparable al espaciado de los obstáculos o rendijas que atraviesa la onda.

Puesto que las menores estructuras físicas conocidas, como los núcleos atómicos, poseen radios del orden de $10^{-15} \text{ m} $, ninguna apertura en la naturaleza puede difractar una onda de $10^{-34} \text{ m} $

Por tanto, en el límite macroscópico donde las masas y las acciones son gigantescas comparadas con la constante de Planck, el comportamiento ondulatorio se promedia y queda perfectamente descrito por la mecánica clásica de Newton.

Observar es perturbar

La dualidad onda-corpúsculo transforma el concepto de observación en la física.

Para localizar espacialmente una partícula con una precisión experimental dada, es imprescindible que interactúe con un cuanto de luz cuya longitud de onda sea comparable o menor que la incertidumbre en la posición buscada.

Sin embargo, un fotón con longitud de onda pequeña transporta una cantidad de movimiento y una energía considerables:

$$E = h\cdot\nu = \frac{h\cdot c}{\lambda} $$

$$p = \frac{h}{\lambda} $$

Al dispersarse el fotón sobre el electrón para transmitir la información al detector, se produce una colisión tipo Compton que transfiere un momento lineal incontrolable a la partícula observada.

En el efecto Compton, descubierto por Arthur Compton en 1923, un fotón cede parte de su energía y de su momento lineal a un electrón al chocar con él, y sale dispersado con una longitud de onda mayor.

Es la prueba directa de que el fotón transporta momento lineal $p = h/\lambda $

En el mundo microscópico, el observador no puede actuar como un mero espectador pasivo: el acto experimental de medir perturba de manera inevitable e irreversible el estado físico del sistema analizado.

Este hecho constituye el origen físico del principio de incertidumbre.

ð Ejemplo:

para "ver" un electrón con luz visible de $\lambda = 500\text{ nm} $ se necesita un fotón con momento:

$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{5{,}00 \times 10^{-7}} = 1{,}33 \times 10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{m/s} $$

Al chocar, una fracción de ese momento se transfiere al electrón y su velocidad queda alterada de forma incontrolable: medir es perturbar.

ð Ejemplo 1: Longitud de onda de De Broglie de un electrón

Explicación: Vamos a cuantificar el carácter ondulatorio de un electrón en movimiento.

La estrategia es aplicar directamente la hipótesis de De Broglie, que asigna a toda partícula material una longitud de onda inversamente proporcional a su momento lineal, y comparar después esa longitud de onda con el espaciado interplanar del cristal: sólo si ambas magnitudes son del mismo orden podrá producirse difracción apreciable.

Determinad la longitud de onda de De Broglie asociada a un electrón que se desplaza a una velocidad de $7{,}00 \cdot 10^5\text{ m/s} $, y justificad si presentará difracción apreciable frente a un plano cristalino con distancia interplanar de $0{,}20\text{ nm} $

Datos: $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\text{ kg} $, $$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} $$

ð PASO 1

Aplicación de la ecuación de De Broglie.

Calculamos la longitud de onda asociada dividiendo la constante de Planck entre el momento lineal del electrón, $\lambda = h / (m_e \cdot v) $:

$$\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot 7{,}00 \cdot 10^5\text{ m/s}} = 1{,}04 \cdot 10^{-9}\text{ m} $$

Expresamos el resultado en nanómetros:

$$\lambda = 1{,}04\text{ nm} $$

ð PASO 2

Comparación con las dimensiones de la red cristalina.

La distancia entre planos atómicos del cristal es:

$$d = 0{,}20\text{ nm} = 2{,}0 \cdot 10^{-10}\text{ m} $$

Puesto que la longitud de onda del electrón $\lambda = 1{,}04\text{ nm} $ es del mismo orden de magnitud que el espaciado interatómico $d $, el haz de electrones experimentará difracción de Bragg al interactuar con el cristal.

Queda así confirmada la longitud de onda asociada al electrón, $\lambda = 1{,}04\text{ nm} $, y con ella su carácter ondulatorio al difractarse en estructuras cristalinas.

Conclusión: la longitud de onda asociada es $\lambda = 1{,}04\text{ nm} $, del orden del espaciado cristalino, por lo que el electrón se difracta y manifiesta su carácter ondulatorio.

ð Ejemplo 2: Comparación entre régimen macroscópico y régimen cuántico

Explicación: Vamos a poner de manifiesto por qué la dualidad onda-corpúsculo es invisible en la vida cotidiana pero decisiva en el mundo atómico.

La estrategia es calcular la longitud de onda de De Broglie para dos objetos situados en extremos opuestos de la escala de masas, una pelota de béisbol y un neutrón térmico, y comparar los órdenes de magnitud obtenidos con las dimensiones atómicas típicas.

Calculad y comparad la longitud de onda de De Broglie asociada a una pelota de béisbol de masa $140\text{ g} $ lanzada a $40{,}0\text{ m/s} $ con la de un neutrón térmico de masa $1{,}675 \cdot 10^{-27}\text{ kg} $ que viaja a una velocidad de $2200\text{ m/s} $

Dato: $$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} $$

ð PASO 1

Cálculo para el objeto macroscópico.

Convertimos la masa de la pelota al Sistema Internacional:

$$m_{\text{pelota}} = 140\text{ g} = 0{,}140\text{ kg} $$

Aplicamos la relación de De Broglie $\lambda = h / (m \cdot v) $:

$$\lambda_{\text{pelota}} = \frac{h}{m_{\text{pelota}}\cdot v} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{0{,}140\text{ kg}\cdot 40{,}0\text{ m/s}} = 1{,}18 \cdot 10^{-34}\text{ m} $$

Esta longitud de onda es completamente despreciable frente a cualquier dimensión atómica o nuclear, por lo que los efectos cuánticos son nulos.

ð PASO 2

Cálculo para el neutrón térmico.

Aplicamos la misma relación para el neutrón:

$$\lambda_{\text{neutrón}} = \frac{h}{m_n\cdot v} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{1{,}675 \cdot 10^{-27}\text{ kg}\cdot 2200\text{ m/s}} = 1{,}80 \cdot 10^{-10}\text{ m} $$

$$\lambda_{\text{neutrón}} = 0{,}180\text{ nm} = 1{,}80\text{ Å} $$

ð PASO 3

Comparación de ambos órdenes de magnitud.

El cociente entre ambas longitudes de onda es:

$$\frac{\lambda_{\text{neutrón}}}{\lambda_{\text{pelota}}} = \frac{1{,}80 \cdot 10^{-10}}{1{,}18 \cdot 10^{-34}} \approx 1{,}5 \cdot 10^{24} $$

La longitud de onda del neutrón térmico, $0{,}180\text{ nm} $, coincide con las distancias interatómicas en moléculas y sólidos, lo que permite la técnica de difracción de neutrones; en cambio, la longitud de onda de la pelota, $1{,}18 \cdot 10^{-34}\text{ m} $, carece por completo de efectos ondulatorios detectables.

Conclusión: la pelota tiene $\lambda = 1{,}18 \times 10^{-34}\text{ m} $, sin ningún efecto ondulatorio detectable, mientras que el neutrón térmico tiene $\lambda = 0{,}180\text{ nm} $, apta para difracción: veinticuatro órdenes de magnitud de diferencia.

ð Ejemplo 3: Perturbación de la medida en sistemas cuánticos

Explicación: Vamos a demostrar cuantitativamente que observar un electrón lo perturba de forma inevitable.

La estrategia es calcular la energía del fotón que usamos como sonda luminosa con la ecuación de Planck-Einstein, calcular la energía cinética del electrón con la expresión clásica y comparar ambas:

si la energía de la sonda es comparable o superior a la del electrón, la colisión alterará drásticamente su estado.

Para determinar la posición de un electrón que se desplaza a $1{,}00 \cdot 10^6\text{ m/s} $, se hace incidir radiación ultravioleta de longitud de onda $\lambda_{\text{luz}} = 200\text{ nm} $

Comparad la energía de un único fotón incidente con la energía cinética inicial del electrón y evaluad el efecto de la observación.

Datos: $$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} $$, $c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m/s} $, $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\text{ kg} $

ð PASO 1

Cálculo de la energía del fotón sonda.

Convertimos la longitud de onda al Sistema Internacional:

$$\lambda_{\text{luz}} = 200\text{ nm} = 2{,}00 \cdot 10^{-7}\text{ m} $$

Calculamos la energía del fotón mediante la ecuación de Planck-Einstein $E = h \cdot c / \lambda $:

$$E_{\text{fotón}} = \frac{h\cdot c}{\lambda_{\text{luz}}} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\cdot 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m/s}}{2{,}00 \cdot 10^{-7}\text{ m}} = 9{,}94 \cdot 10^{-19}\text{ J} $$

ð PASO 2

Cálculo de la energía cinética del electrón.

Determinamos la energía cinética inicial de la partícula con $E_c = \frac{1}{2} m_e v^2 $:

$$E_c = \frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v^2 = \frac{1}{2}\cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot (1{,}00 \cdot 10^6\text{ m/s})^2 = 4{,}56 \cdot 10^{-19}\text{ J} $$

ð PASO 3

Comparación de energías y efecto de la observación.

Dividimos la energía del fotón sonda entre la energía cinética del electrón:

$$\frac{E_{\text{fotón}}}{E_c} = \frac{9{,}94 \cdot 10^{-19}\text{ J}}{4{,}56 \cdot 10^{-19}\text{ J}} = 2{,}18 $$

El fotón sonda posee más del doble de la energía cinética del propio electrón.

Al chocar con él para registrar su posición, transferirá una fracción sustancial de su momento y energía, alterando drásticamente la velocidad del electrón.

Queda así demostrado que el acto de medición perturba de manera incontrolable el estado del sistema cuántico.

Conclusión: el fotón sonda transporta más del doble de la energía cinética del electrón, luego al chocar altera drásticamente su estado: observar un sistema cuántico es perturbarlo de forma inevitable.