📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
2.1.1 Sistema de referencia y coordenadas de un punto
Definición del sistema de referencia afín y cartesiano en R3, ejes de coordenadas ortonormales y determinación unívoca de coordenadas.
1. Definición del Sistema de Referencia Cartesiano
En el espacio euclídeo tridimensional $\mathbb{R}^3$, un sistema de referencia ortonormal $\mathcal{R} = \{O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$ consta de:
- Un punto fijo $O(0,0,0)$ llamado origen de coordenadas.
- Tres vectores directores ortonormales (longitud 1 y perpendiculares dos a dos): $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$, $\vec{k}=(0,0,1)$, que definen los ejes coordenados $OX$, $OY$ y $OZ$.
$$\vec{OP} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \iff P(x, y, z)$$
📌 Ejemplo Concreto de Coordenadas de un Punto:
Consideremos el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y un punto del espacio $P(3, -2, 5)$.
El vector de posición $\vec{OP}$ que va desde el origen hasta el punto $P$ se expresa como combinación lineal de los vectores de la base canónica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$:
$$\vec{OP} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + 5\vec{k}$$
Por tanto, las coordenadas cartesianas de dicho punto en el espacio son:
$$P(3, -2, 5) \iff \text{abscisa } x = 3, \; \text{ordenada } y = -2, \; \text{cota } z = 5$$