Ejercicios Resueltos: 4.3.2 Distribuciones de probabilidad continuas

Solución paso a paso:

1) Condición de área unitaria:

$$\int_0^3 a x^2\,dx = 1 \implies a \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = a\left(\frac{27}{3}\right) = 9a = 1 \implies a = \frac{1}{9}$$

2) Probabilidad del intervalo $[1, 2]$:

$$P(1 \le X \le 2) = \int_1^2 \frac{1}{9}x^2\,dx = \frac{1}{9}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{1}{27}(8 - 1) = \frac{7}{27} \approx 0.2593$$

Solución paso a paso:

1) Por definición de probabilidad condicionada:

$$P(X > 2 \mid X > 1) = \frac{P(X > 2 \cap X > 1)}{P(X > 1)} = \frac{P(X > 2)}{P(X > 1)}$$

2) Calculamos las probabilidades integrando la densidad exponencial:

$$P(X > t) = \int_t^\infty 2e^{-2x}\,dx = \left[-e^{-2x}\right]_t^\infty = 0 - (-e^{-2t}) = e^{-2t}$$

3) Por consiguiente:

$$\frac{P(X > 2)}{P(X > 1)} = \frac{e^{-4}}{e^{-2}} = e^{-2} \approx 0.1353$$

(Propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial).

Solución paso a paso:

Aplicamos la definición de esperanza matemática continua:

$$\mu = \int_0^3 x \cdot \frac{2}{9}(3 - x)\,dx = \frac{2}{9} \int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \frac{2}{9} \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3$$ $$\mu = \frac{2}{9} \left( \frac{27}{2} - \frac{27}{3} \right) = \frac{2}{9} \left( 13.5 - 9 \right) = \frac{2}{9}(4.5) = \frac{9}{9} = 1$$