Ejercicios Resueltos: 4.3.3 Desigualdad de Chebycheff

Solución paso a paso:

El intervalo pedido es $(12 - 6, 12 + 6)$, lo que equivale a $|X - 12| < 6$.

$$k\sigma = 6 \implies k(2) = 6 \implies k = 3$$ $$P(|X - 12| < 6) \ge 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0.8889$$

Al menos el $88.89\%$ de los usuarios será atendido en ese rango de tiempo.

Solución paso a paso:

1) Desviación típica: $\sigma = \sqrt{16} = 4\text{ ml}$.

2) La condición equivale a $|X - 1000| \ge 12$.

$$k\sigma = 12 \implies k(4) = 12 \implies k = 3$$ $$P(|X - 1000| \ge 12) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0.1111$$

Como máximo el $11.11\%$ de las botellas tendrá ese error de llenado.

Solución paso a paso:

La amplitud es $|X - 50| < 10$, por tanto $k\sigma = 10$.

Exigimos concentración mínima:

$$1 - \frac{1}{k^2} \ge 0.80 \implies \frac{1}{k^2} \le 0.20 = \frac{1}{5} \implies k^2 \ge 5$$

Dado que $k = \frac{10}{\sigma}$, elevamos al cuadrado:

$$\frac{100}{\sigma^2} \ge 5 \implies 5\sigma^2 \le 100 \implies \sigma^2 \le 20$$

La varianza no puede exceder de $20$ (es decir, $\sigma \le \sqrt{20} \approx 4.472$).