Ejercicios Resueltos: 4.3.5 Distribución Gaussiana o Normal

Solución paso a paso:

Tipificamos $X = 8.9$:

$$Z = \frac{8.9 - 6.5}{1.2} = \frac{2.4}{1.2} = 2.0$$ $$P(X \ge 8.9) = P(Z \ge 2.0) = 1 - \Phi(2.00) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$

El $2.28\%$ de los candidatos consigue la mención de honor.

Solución paso a paso:

Si el área central es $0.95$, las dos colas exteriores suman $0.05$, correspondiendo $0.025$ a cada cola.

$$P(Z \le z_c) = 1 - 0.025 = 0.9750 \implies z_c = 1.96$$

Calculamos la semiamplitud $c = z_c \cdot \sigma$:

$$c = 1.96 \times 10 = 19.6$$

El intervalo central es $(100 - 19.6, 100 + 19.6) = (80.4, 119.6)$.

Solución paso a paso:

1) Para $X = 35$ (cola izquierda):

$$P(X < 35) = 0.0228 \implies P(Z < z_1) = 0.0228 \implies z_1 = -2.00$$ $$\frac{35 - \mu}{\sigma} = -2 \implies 35 - \mu = -2\sigma \implies \mu - 2\sigma = 35$$

2) Para $X = 65$ (cola derecha):

$$P(X > 65) = 0.1587 \implies P(X \le 65) = 0.8413 \implies z_2 = +1.00$$ $$\frac{65 - \mu}{\sigma} = 1 \implies 65 - \mu = \sigma \implies \mu + \sigma = 65$$

3) Restando la primera ecuación de la segunda:

$$(\mu + \sigma) - (\mu - 2\sigma) = 65 - 35 \implies 3\sigma = 30 \implies \sigma = 10$$ $$\mu = 65 - 10 = 55$$